卷四

本底得积【本卷二则】堑堵以高乘半底得积【本卷三则】今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘防靣相并折半之数得全积十八则

    鋭靣方体求积

    设鋭靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积

    法曰置上方自

    乘【得三十六尺】下方

    自乘【得六十四尺】上

    下两方相乘【得四】

    【十八尺】三数并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三归之得五百九十二尺即所求

    解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积【本卷二则】堑堵以高乘底二之一得积【本卷三则】方锥以高乘底三之一得积【本卷十一则】若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积【余同本卷十五则】

    十九则

    鋭靣直体求积

    设鋭靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高

    一十二尺求积

    法曰倍上长加

    下长【共二十二尺】以

    上广乘之【得一百一】

    【十尺】另倍下长加上长【共二十六尺】以下广乘之【得二百零八尺】两数并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六归之得六百三十六尺即所求

    解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按鋭靣直体亦有可用三归

    者如后图面长五尺广三尺底

    长七尺广四尺二寸高一十二

    尺用前法得积二百六十一尺

    六寸今以面广乘靣长得一十

    五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺【或以底广乘靣长亦同】三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃鋭脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成鋭脊终不成锥体是以谓之鋭脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也鋭靣直体有此二等不可不知也

    二十则

    鋭靣圆体求积

    设鋭靣圆体靣径六尺底径八

    尺高一十二尺求积法曰置靣

    径自乘【得三十六尺】底径自乘【得六十四

    尺】两径相乘【得四十八尺】三数并【共一】

    【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有奇即所求

    解曰此与鋭靣方体法同元当用三归得鋭靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也

    二十一则

    鋭面撱圆体求积

    设鋭面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺

    小径六尺高一十二尺求积法

    曰倍靣大径加底大径以靣小

    径乘之【得三十二尺】另倍底大径加

    靣大径以底小径乘之【得一百二十尺】

    两数并【共一百五十二尺】以高乘之【得一千八百二十四尺】再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有奇即所求

    解曰此与鋭靣直体法同元当用六归得鋭靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则

    诸鋭靣体求积

    设鋭靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘【所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同】底每边广二尺

    中长三尺四寸

    六分四厘高四

    尺求积法曰置

    高以底长折半

    乘之【得六尺九寸二分八厘】以两长相减折半【得八寸六分六厘】除之得八尺为锥高另三因底边二尺【得六尺】以底长之半乘之【得十尺零三寸九分二厘】以锥高八尺乘之三归之【得二十七尺七寸一分强】为锥积另三因靣边一尺【得三尺】以靣长之半乘之【得二尺五寸九分八厘】以原高减锥高余四尺乘之三归之【得三尺四寸六分四厘】为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求

    解曰凡鋭靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例【己戊即甲丁】因甲乙以求甲丙也凡鋭靣体俱同此法

    二十三则

    求锥体之正高

    设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘【得一百六十九尺】另以底方折半自乘【得二十五尺】两数相

    减【余一百四十四尺】平方开之得一十

    二尺即所求

    解曰此勾?求股法也【六卷二则】凡

    求诸锥体之积须得诸锥正高

    自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇奇边则求底中心至边之度为勾【本卷七则】

    二十四则

    立方以积求边一法【即开立方】

    设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘【得一千尺】除实【余二千三百七十五尺】三因下法十尺【得三十尺】为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次【共一十五尺】以次商五尺徧乘之【得七十五尺】为廉法再以方法乘廉法【得二千二百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求

    解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十

    尺得五十尺即

    方廉甲乙丙丁

    一侧面之平积

    也【丁乙五尺丁丙十尺相乘

    得五十尺】以初商乘

    之必得一方廉

    之积【每一方廉积五百尺】若以方法三十

    尺乘之则得三

    方廉之积【三方廉皆等】又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也【戊己五尺戊庚亦五尺相乘得二十五尺】以初商乘之必得一长亷之积【每一长廉积二百五十尺】若以方法三十尺乘之则得三长廉之积【三长廉皆等】今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣

    二十五则

    立方以积求边二法

    设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘【得一百万尺】除实【余二百六十五万二千二百六十四尺】三因下法一百尺【得三百尺】为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次【共一百五十尺】次商五十尺徧乘之【得七千五百尺】为廉法以方法乘廉法【得二百二十五万尺】除实【余四十万零二千二百六十四尺】又以次商自乘再乘【得一十二万五千尺】为隅法除实【余二十七万七千二百六十四尺】复三因下法一百五十尺【得四百五十尺】为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次【共一百五十四尺】以三商四尺徧乘之【得六百一十六尺】又为廉法以方法乘廉法【得二十七万七千二百尺】除实【余六十四尺】又以三商四尺自乘再乘【得六十四尺】为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求

    解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之仿此

    二十六则

    方体以积求边一法【即带纵开立方】

    设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之【得　百尺】除实【余二千一百二十五尺】倍八尺加初商十尺【共二十六尺】为方廉法又倍初商十尺加八尺【共二十八尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得二百六十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百四十尺】两数并【共四百尺】以次商五尺乘之【得二千尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度

    解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之

    长皆十尺也倍

    十尺加八尺为

    长廉法者以长

    廉长八尺者一

    长十尺者二也

    又以次商五尺

    乘之者三长廉

    之广皆五尺也

    又并六廉以五

    尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘陞二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆陞二位二十七则

    方体以积求边二法

    设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之【得一千四百尺】除实【余二千八百七十五尺】倍十四尺加初商十尺【共三十八尺】为方廉法倍初商十尺加十四尺【共三十四尺】为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法【得三百八十尺】以次商五尺乘长廉法【得一百七十尺】两数并【共五百五十尺】又以次商五尺乘之【得二千七百五十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百二十五尺】为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前

    二十八则

    直体以积求边一法

    设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之【得六百尺】四因之【得二千四百尺】叧置广朒于长十尺自乘【得一百尺】两数并平方开之【得五十尺】减广朒于长十尺【余四十尺】折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长

    解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也

    二十九则

    直体以积求边二法

    设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之【得八百四十尺】除实【余二千二百九十五尺】列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺【得六十尺】十尺乘十四尺【得一百四十尺】十四尺乘六尺【得八十四尺】并之【共二百八十四尺】又以次商五尺乘长廉法【得一百五十尺】两数并【共四百二十四尺】再以次商五尺乘之【得二千一百七十尺】除实【余一百二十五尺】又置次商五尺自乘再乘【得一百十五尺】　为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广

    解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増

    四尺共一十四尺为高故两乘

    得大方积大方三面之平积即

    三方廉之底积也而大方之三

    面各不等以广六尺乘长十尺

    得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长

    廉法也余同前解

    三十则

    浑圆以积求径

    设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有奇求圆径法曰置积二十一乘十一除【得三千三百七十五尺】立方开之得一十五尺即所求

    解曰十一与二十一浑圆立方之比例也【本卷十三则】二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也

    三十一则

    浑撱圆以积求径

    设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有奇大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除【得四千二百七十五尺】以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径

    解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也

    三十二则

    三乘还原【即开三乘方】

    设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方

    三十三则

    委粟求积

    设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有奇即所求

    解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与

    八十八【二卷五则】凡两体等高者体与

    体之比例若底与底圆体与周上

    等高方体之比例必亦若七与八

    十八今圆锥居圆体三之一以三

    乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣

    二十四则

    倚壁委粟求积

    设倚壁委粟周四十

    四尺高八尺八寸求

    积法曰置周自乘【得一

    千九百三十六尺】以高乘之

    【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有奇即所求

    解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也

    三十五则

    倚外角委粟求积

    设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰

    置周自乘【得四千三百五十六

    尺】以高乘之【得三万八千三

    百三十二尺八寸】再七乘一

    百九十八除得一千

    三百五十五尺二寸即所求

    解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之