卷六

    钦定四库全书

    数学钥卷六

    柘城杜知耕撰

    勾股

    一则

    勾股求?

    设勾六尺股八尺求?法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并

    必与?上方形等如甲乙丙

    勾股形甲乙勾与丙乙股等

    试作乙丁等高同底方形其

    边与甲乙等必为勾上方又

    与丙乙等亦必为股上方再

    作戊巳外切方形其边与甲丙等即为?上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方以等乙丁之四三角形为股方并之不等于戊巳?方乎又如庚

    辛壬勾股形庚辛短辛壬长

    勾与股不相等者于庚辛勾

    辛壬股庚壬?上各作方形

    为庚癸辛子辛丑次作辛寅

    辛癸辛辰壬丑庚子五线几

    何原本云庚辛壬与庚辛午既皆方角即午辛辛壬是一直线依显庚辛辛巳亦一直线又壬庚辰与辛庚丑既皆方角而每加一辛庚壬角即辛庚辰与壬庚丑两角亦等依显辛壬癸庚壬子两角亦等又庚

    辛辰三角形之辛庚庚

    辰两边与庚壬丑三角

    形之丑庚庚壬两边等

    辛庚辰与壬庚丑两角

    复等则对等角之辛辰

    与壬丑两边亦等而此

    两三角形亦等矣夫辛

    丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则既谓直形等于平行线内同底之象目形则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形则辛丑方形不与辰卯直形等乎依显辛子方形与癸卯直形等则癸庚一形与辛子辛丑两形并等矣法以勾股各自乗求勾股上两方形也两形并则为?上之方积故平方开之得?也二则

    勾?求股

    设勾六尺?十尺求股法曰置勾?各自乗【勾得三十六尺?得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之得八尺即所求解曰?上方积当一勾一股上方积于?积内减去勾积所余非股积而何故平方开之得股

    三则

    股?求勾

    设股八尺?十尺求勾法曰置股?各自乗【股得六十四尺?得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之得六尺即所求解曰?积内减去股积所余必勾积故平方开之得勾

    四则

    勾股积及勾股较求?

    设勾股积二十四尺勾股较二尺求?法曰置勾股积四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求

    解曰甲乙丙

    勾股形与戊

    巳甲丁庚戊

    乙辛丁三勾

    股形等甲丙

    为甲乙丙形之股甲巳为戊巳甲形之勾于甲丙截甲巳余己丙则勾股较也丙辛辛庚庚巳各与己丙等是己辛为勾股较上方形又甲乙为甲乙丙形之?而丁乙戊丁甲戊各与甲乙等是甲丁为?上方形今并五形成一甲丁方形则是一?上方形与四

    勾股积一勾股较上方积并等矣

    故四因勾股积并入勾股较自乗

    之积平方开之得?也又如壬子

    癸勾股形壬子勾与子癸股等四

    形并即成一壬丑?上方形而无余凡遇勾股相等之勾股形四因积平方开之即得?度

    五则

    ?及勾股较求勾股积

    设?十尺勾股较二尺求勾股积法曰置?与勾股较各自乗【?得一百尺勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之得二十四尺即所求

    解曰?上方积减去勾股较上方积必余四勾股积故四归之得一勾股积

    六则

    ?及勾股积求勾股较

    设?十尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置?自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求

    解曰?上方积减去四勾股积所余必勾股较上方积故平方开之得勾股较

    七则

    ?及勾股和求勾股较

    设?十尺勾股和一十四尺求勾股较法曰置?自乗

    【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和

    自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求

    解曰甲巳方形内凡八勾股

    形而皆等乙戊为戊丁乙形

    之股甲乙为乙丙甲形之勾甲乙乙戊并得甲戊乃勾股和也余三边皆等于甲戊是甲己为勾股和上方形又丙丁为?上方形辛壬为勾股较上方形【本卷

    四则】夫?上方形内得勾股形

    四及勾股较上方形一勾股

    和上方形内得勾股形八及

    勾股较上方形一是一勾股

    和上方形当?上方形二而

    少一勾股较上方形也故倍

    ?羃减勾股和自乗之积平方开之得勾股较八则

    勾股和及勾股积求?

    设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求?法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之得十尺即所求

    解曰勾股和上方大于?上方者四勾股积也故相减开方得?

    九则

    勾股和及勾股积求勾股较

    设勾股和一十四尺勾股积二十四尺求勾股较法曰置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之得二尺即所求解曰勾股和上方大于勾股较上方者八勾股积也故相减开方得勾股较

    十则

    ?及勾股较求勾股和

    设?十尺勾股较二尺求勾股和法曰置?自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求

    解曰倍?上方积大于勾股和上方积者勾股较上方积也故相减开方得勾股和

    十一则

    勾股积及勾股较求勾股和

    设勾股积二十四尺勾股较二尺求勾股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之

    十二则

    ?及勾股积求勾股和

    设?十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置?自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求

    解曰即八则法反用之

    十三则

    勾?和股?和求勾股?

    设勾?和一十六尺股?和一十八尺求勾股?法曰置勾?和股?和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股?和与勾?和相减

    余八尺即股与股?和相减

    余六尺即勾与二勾一股相

    减余十尺即?

    解曰甲乙直形为勾?和股

    ?和矩内形乙丁乙丙皆与

    ?等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为?方巳戊必?勾矩内形己庚必?股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股?和上方形壬癸壬子皆与?等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则

    巳壬必为?

    方午巳必为

    股方辛午必

    为勾方未癸

    申子必皆股

    ?矩内形酉

    丑戌寅必皆勾?矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬?方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股?和上方形一与勾?和股?和矩内形二并等矣故以勾?和乗股?和倍而开方得勾股?和也于勾股?和内减去一?一股所余必勾减去一?一勾所余必股减去一勾一股所余必?也

    十四则

    股及勾?较求勾与?

    设股八尺勾?较四尺求勾?法曰置股自乗【得六十四

    尺】另置勾?

    较自乗【得一十六

    尺】两数相减

    【余四十八尺】折半

    【得二十四尺】以勾

    ?较除之得

    六尺即勾加勾?较得十尺即?

    解曰甲乙为?上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾?较上方形于甲乙?方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾?较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾?较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾?较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾?较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾?较除之得数减勾?较折半亦得勾

    十五则

    勾及股?较求股与?

    设勾六尺股?较二尺求股?法曰置勾自乗【得三十六

    尺】另置股?较自乗【得四尺】两

    数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股?较除之得八尺即股

    加股?较共十尺即?

    解曰甲乙?方内减去丙丁

    股方戊巳股?较方所余必甲

    庚庚乙两直形折半则得一直形故以股?较除之得股十六则

    股羃及勾?较求勾?和

    设股羃六十四尺勾?较四尺求勾?和法曰置股

    羃为实以勾?较除之

    得一十六尺即所求

    解曰十四则辛壬癸磬

    折形其甲乙元与?等

    丙丁元与勾等若移癸

    于戊则成辛壬戊直形以勾?较为濶勾?和为长矣故以勾?较除股羃得勾?和

    十七则

    勾羃及股?较求股?和

    设勾羃三十六尺股?

    较二尺求股?和法曰

    置勾羃为实以股?较

    除之得一十八尺即所

    求

    解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与?等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股?较为濶股?和为长矣故以股?较除勾羃得股?和十八则

    股羃及勾?和求勾?较

    设股羃六十四尺勾?和一十六尺求勾?较法曰置股羃为实以勾?和除之得四尺即所求

    解曰即十六则法反用之

    十九则

    勾羃及股?和求股?较

    设勾羃三十六尺股?和一十八尺求股?较法曰置勾羃为实以股?和除之得二尺即所求

    解曰即十七则法反用之

    二十则

    勾?较股?较求勾股?

    设勾?较四尺股?较二尺求勾股?法曰置勾?较股?较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股?较得六尺即勾加勾?较得八尺即股加勾?

    较股?较得十尺即?

    解曰甲乙为?方丁乙为勾

    方甲丙为股方以丁乙勾方

    甲丙股方错综加于甲乙?

    方之上必缺戊巳庚辛二直

    形而重一丁丙方形然丁丙

    方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙?方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与?方等矣夫勾方股方并既与?方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾?较为长以壬巳癸庚股?较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股?较之癸庚得癸丁即勾加勾?较之戊壬得丙壬即股加一勾?较之戊壬一股?较之癸庚得癸丁及戊壬即?

    二十一则

    相连之勾股求?

    设圆柱高二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐

    求索长法曰置柱周

    三尺以索绕七周因

    之【得二十一尺】自乗【得四百四

    十一尺】另置柱高自乗

    【得四百尺】两数并【共八百四十一

    尺】平方开之得二十

    九尺即所求

    解曰索绕柱七周即

    七叚勾股也柱高二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七?也此条元当七归柱高取七股之一用勾股求?法得数七因之为?长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱高为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大?有不同于甲丁等七小?并乎故求甲丙大?为索长也二十二则

    相连之股?求勾

    设圆柱高二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之得三尺即所求

    解同前

    二十三则

    相连之勾?求股

    设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱高法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之得二十尺即所求

    解同二十一则

    二十四则

    勾股形求对角之垂线

    设勾六尺股八尺?十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以?除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形

    亦倍大于甲

    乙丙勾股形

    故等也以?

    除积得垂线

    即以长除积

    得濶也

    二十五... -->>
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