御制厯象考成后编卷一

    日躔数理

    日躔总论

    嵗实

    黄赤距纬

    清?气差

    地半径差

    用撱圆面积为平行

    求两心差及撱圆与平圆之比例

    求撱圆大小径之中率

    撱圆角度与面积相求

    求均数

    日躔总论

    钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月防而为朔行天一周而为嵗嵗月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治厯之大经万世莫能易也其推?之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天髙卑本轮均轮诸説用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法逈殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天髙卑之説也至若嵗实之转増距纬与两心差之渐近地半径差?气差之互为大小则亦由于积��损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云

    嵗实

    日行天一周为嵗周嵗之日分为嵗实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一嵗实为三百六十五日四分日之一【周日为一万分四分之一为二千五百分】尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为嵗实太强减嵗余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓嵗当有差乃损嵗余以益天周嵗差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得嵗实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定嵗实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】嵗差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天嵗自为嵗而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测嵗实又谓第谷所减太过酌定嵗实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纤有竒每年少三十微有竒盖嵗实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒【见推日躔用数】而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于嵗实消长统天授时用之新法算书虽为之説而实未用其数兹不具论

    黄赤距纬

    黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年

    皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园?养斋开局测太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等厯考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用?气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有?气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十

    数分之多康熙年间所用?气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不逺由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载

    清?气差

    清?气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为髙映小为大而?气之厚薄升像之髙下又随地不同其所作?气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大?气差三十四分自地平以上其差渐少至距地髙四十五度犹差五秒更髙则无?气矣厥后西人又言北极髙四十八度太阳髙四十五度时?气差尚有一分余自地平至天顶皆有?气差上编具载其説而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等厯考西史第谷所定地平上?气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其説谓?气绕乎地球之周日月星照乎?气之外人在地面为?气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎?气之中必反折之使下故光线与视线在?气之内则合而为一?气之外则岐而为二此二线所交之角即为?气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为?气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得?气差角爰在北极出地髙四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒?气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正?之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之?气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左

    如图甲为地心乙为地面

    乙甲为地半径一千万丙

    乙为?气之厚六千零九

    十五丁为太阳【月星仿此】照于

    ?气之戊人自地面乙视

    之则见日于戊者当本天

    之巳巳戊乙为视线丁戊

    乙为光线是视线常髙光

    线常卑视线常直光线常

    折在戊??气之内则光

    线与视线合同为戊乙出

    乎戊?之外则视线己戊

    光线丁戊岐而为二故己

    戊丁角为?气差角试自

    地心甲出线过戊?至庚

    则庚甲即为地平上?气

    之割线己戊庚角为视线

    与割线所成之角丁戊庚

    角为光线与割线所成之

    角而己戊丁?气差角即

    为两角之较今既测得地

    平上?气差为三十二分

    一十九秒又测定?气之

    厚为六千零九十五则己

    戊庚视线角与丁戊庚光

    线角可以得其比例其术

    用甲乙戊直角三角形以

    甲戊一○○○六○九五

    与甲乙一千万之比同于

    乙直角正?一千万与戊

    角正?九九九三九○八

    【小余七一】之比而得戊角为八

    十八度【小余百分秒之四二】即己戊

    庚角又以己戊丁?气差

    角三十二分一十九秒与

    之相加得八十八度三十

    二分一十九秒【小余四二】即丁

    戊庚角其正?为九九九

    六七四八【小余二五】夫视线角

    之正?己辛为九九九三

    九○八【小余七一】则光线角之

    正?丁壬为九九九六七

    四八【小余二五】若设己辛为一

    千万则丁壬必为一○○

    ○二八四一此两角正?

    之比例也既得两?之比

    例而?气差之戊角与视

    线交?气割线之戊角同

    以在地平为最大渐近天

    顶则渐小则是二者常相

    因而逐度之?气差皆可

    以两?比例而推如求地

    平上髙二十度癸己弧之

    ?气差则癸戊乙为视线

    子戊乙为光线丑戊甲为

    地平上二十度?气之割

    线戊乙丙角为七十度癸

    戊丑角为视线与割线所

    成之角其正?为癸寅子

    戊丑角为光线与割线所

    成之角其正?为子卯先

    用甲戊乙三角形求得戊

    角六十九度五十四分一

    十五秒【小余五五】即癸戊丑角

    又以一千万与一○○○

    二八四一之比同于癸寅

    与子卯之比而得子戊丑

    角为六十九度五十六分

    五十五秒【小余九二】两角相减

    余癸戊子角二分四十秒

    【小余三七】即地平上二十度之

    ?气差也余仿此

    地半径差

    地半径差者视髙与实髙之差也太阳距地平近则差角大渐髙则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最髙距地心逺则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚逺无地半径差而测量所系只在秒微又有?气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤逺地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其説今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最髙为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最髙为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左

    康熙十一年壬子秋分前

    十四日火星与太阳冲西

    人噶西尼于富郎济亚国

    测得火星距天顶五十九

    度四十分一十五秒利实

    尔于噶耶那岛测得火星

    距天顶一十五度四十七

    分五秒同时用有千里镜

    能测秒微之仪器与子午

    线上最近一恒星测其相

    距噶西尼所测火星较低

    一十五秒【如噶西尼测得火星距恒星下

    四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十

    分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九

    度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火

    星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度】以

    之立法甲为地心乙为富

    郎济亚国地面丙为天顶

    丁为噶耶那岛地面戊为

    天顶己为火星丙戊己庚

    为子午线【如两地面不同在一子午线则

    须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日

    躔厯理】己乙丙角为乙处火

    星视距天顶五十九度四

    十分一十五秒己丁戊角

    为丁处火星视距天顶一

    十五度四十七分五秒【地面

    为视距地心为实距】辛为恒星辛甲

    丙角为乙处恒星距天顶

    之度辛甲戊角为丁处恒

    星距天顶之度因恒星距

    地甚逺地面所视与地心

    无异故无地半径差假若

    火星亦无地半径差则乙

    处火星实距天顶当为己

    甲丙角丁处火星实距天

    顶当为己甲戊角而火星

    与恒星之相距即同为己

    甲辛角无髙低之异乃乙

    处所测火星距天顶为己

    乙丙角较之实距天顶之

    己甲丙角低一乙己甲角

    是即乙处之地半径差也

    丁处所测火星距天顶为

    己丁戊角较之实距天顶

    之己甲戊角低一丁己甲

    角是即丁处之地半径差

    也夫火星之距恒星一也

    因乙处所测火星距天顶

    逺故乙己甲差角大丁处

    所测火星距天顶近故丁

    己甲差角小则乙处所测

    火星距恒星较丁处?一

    十五秒即两差角相减所

    余之丁己乙角乃两处地

    半径差之较也既得地半

    径差较丁己乙角而欲求

    地平上最大差甲壬乙角

    则以两处所测火星距天

    顶之正?相减与地半径

    差较秒数之比即同于半

    径一千万与地平上最大

    差秒数之比盖将己乙线

    引长至癸自甲作甲癸垂

    线成甲癸乙直角形癸为

    直角乙角与己乙丙为对

    角即乙处火星距天顶之

    度甲癸为地半径差乙己

    甲角之正?【甲己为半径故】甲乙

    为地半径即最大差甲壬

    乙角之正?【甲壬为半径故】其法

    为乙角正?与甲癸之比

    同于癸直角正?一千万

    与甲乙之比检表而得壬

    角也又将己丁线引长至

    子自甲作甲子垂线成甲

    子丁直角形子为直角丁

    角与己丁戊为对角即丁

    处火星距天顶之度甲子

    为地半径差丁己甲角之

    正?甲丁与甲乙等亦为

    最大差甲壬乙角之正?

    其法为丁角正?与甲子

    之比同于子直角正?一

    千万与甲丁之比亦检表

    而得壬角也夫两视距天

    顶之正?与两地半径差

    正?之比既皆同于一千

    万与最大差正?之比则

    两视距天顶正?相减之

    较与两地半径差正?相

    减之较之比亦必同于一

    千万与最大差正?之比

    又地半径差角甚小其两

    正?之较与两角度之较

    可以相为比例则两视距

    天顶正?相减之较与两

    地半径差相减所余秒数

    之比亦必同于一千万与

    最大差秒数之比矣故以

    己乙丙角五十九度四十

    分一十五秒之正?八六

    三一三八六与己丁戊角

    一十五度四十七分五秒

    之正?二七二○二三六

    相减余五九一一一五○

    为一率乙己丁角一十五

    秒为二率一千万为三率

    求得四率二十五秒【小余三七】即甲壬乙角为火星在地

    平上最大之地半径差也

    既得火星地半径差甲壬

    乙角而欲求太阳地半径

    差甲丑乙角据歌白尼第

    谷测得火星距地甲壬与

    太阳距地甲丑之比如一

    百与二百六十六其法当

    先用甲乙壬形以乙角正

    ?为一率甲壬为二率壬

    角正?为三率甲乙为四

    率此第一比例也次用甲

    乙丑形以甲丑为一率乙

    角正?为二率甲乙为三

    率丑角正?为四率此第

    二比例也然第二比例之

    二率三率即第一比例之

    一率四率而一率四率相

    乗原与二率三率相乗之

    数等故即以甲丑二六六

    为一率甲壬一○○为二

    率壬角二十五秒【小余三七】为

    三率求得四率九秒【小余五三】进为一十秒为丑角度【因壬

    丑二角甚小正?与角度可以相为比例故壬角用

    秒丑角亦得秒】即太阳在地平上

    最大之地半径差也

    又按上编日躔求地半径

    差法以两处恒星距天顶

    相减余四十三度五十二

    分五十五秒为戊丙弧即

    戊甲丙角先用乙甲丁三

    角形甲乙甲丁二边俱命

    为一千万以甲角折半之

    正?倍之得七四七三○

    二三为乙丁边又以甲角

    与半周相减余数半之得

    六十八度三分三十二秒

    三十微为乙角亦即丁角

    次用乙己丁三角形此形

    有乙丁边有己乙丁角五

    十二度一十六分一十二

    秒三十微【半周内减去甲乙丁角又减去

    己乙丙角余即己乙丁角】有己丁乙角

    一百二十七度四十三分

    三十二秒三十微【半周内减去甲

    丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己

    丁角一十五秒【乙丁二角相并与半

    周相减余即己角与前地半径差较合】求得

    己丁边八一二七五一二

    五一五四【小余二九】次用己丁

    甲三角形此形有甲丁边

    有丁己边有丁外角一十

    五度四十七分五秒【即丁处火

    星距天顶】将己丁线引长至子

    成甲子丁直角形丁角正

    ?二七二○二三六【小余五】即甲子边丁角余?九六

    二二九○六即丁子边以

    丁子与己丁相加得己子

    八一二八四七四八○六

    ○【小余二九】为股甲子为勾求

    得?八一二八四七四八

    一一二为甲己边与甲壬

    等即火星距地心数以地

    半径较之其比例为一与

    八千一百二十八又以甲

    壬为一率甲乙为二率一

    千万为三率求得四率一

    二三○【小余二四】为壬角之正

    ?检表得二十五秒【小余三七】为火星在地平上最大差

    与前法所得数同【上编求日纒地

    半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶

    南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天

    顶之正?相加与地半径差总秒数之比同于一千

    万与地平上最大差秒数之比耳】

    用撱圆面积为平行

    太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图説如左

    如图甲为地心乙丙丁戊

    为黄道己为不同心天之

    心庚辛壬癸为不同心天

    乙庚为本轮半径与甲己

    两心差等以本轮之法论

    之最卑时本轮心在乙太

    阳在庚中距时本轮心在

    丙太阳在辛乙丙为平行

    九十度辛甲丙角为平行

    实行之最大差以不同心

    天之法论之太阳自最卑

    庚行至辛亦九十度己辛

    甲角为平行实行之最大

    差与辛甲丙角等故本轮

    之法与不同心天之法相

    同以均轮之法论之最卑

    时本轮心在乙均轮心在

    子太阳在丑中距时本轮

    心在丙均轮心在卯太阳

    在辛最髙时本轮心在丁

    均轮心在辰太阳在巳辛

    甲丙角最大差仍当甲己

    之全而丑乙之卑于本天

    半径巳丁之髙于本天半

    径者止及甲己之半与甲

    寅等故以推盈缩差惟中

    距与本轮同最髙半周比

    之本轮则大【距地近故角大】最卑

    半周比之本轮则小【距地逺故

    角小】此其所以消息乎本轮

    之行度者当时必有所据

    而自刻白尔以来则谓髙

    卑之数均轮所定诚是但

    其数渐减耳至以推盈缩

    差则均轮之所消息者又

    属太过惟以寅为不同心

    天之心作撱圆形自地心

    甲?分之计太阳在撱圆

    周右旋其所行之分撱圆

    面积日日皆相等而用以

    推黄道实行之盈缩则在

    本轮均轮所得数之间而

    与实测脗合试以寅为心

    与己丑作十字线又取寅

    丑之度从甲截横线于午

    使午甲午己皆与寅丑半

    径等乃以甲己两?各为

    心午为界各用一针钉之

    围以丝线末以铅笔代午

    针引而旋转即成丑午己

    未撱圆形寅丑寅己为撱

    圆大半径寅午寅未为撱

    圆小半径则撱圆不以甲

    己为心而以寅为心丑乙

    之卑于黄道巳丁之髙于

    黄道者止及甲己之半与

    寅甲等是髙卑之理与均

    轮合矣又将撱圆面积以

    甲为心均分为三百六十

    分每分之积皆为一度每

    一度积为六十分太阳每

    日右旋当每一度积之五

    十九分有竒是为平行在

    最卑半周甲心至撱圆界

    之线短则角度必寛是为

    行盈在最髙半周甲心至

    撱圆界之线长则角度必

    狭是为行缩故太阳循撱

    圆周行惟所当之面积相

    等而角不等其角度与积

    度之较即平行实行之差

    中距平行至申甲申丑积

    为撱圆四分之一为平行

    九十度与寅午丑积等【申午

    酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等】亦

    与申己甲角等而自地心

    甲计之己当黄道之戌戌

    甲丑角为实行己申甲角

    为平行实行之差是中距

    之盈缩差与本轮均轮皆

    合矣用是以推逐度之盈

    缩差在最髙半周比之本

    轮固大比之均轮又微小

    最卑半周比之本轮固小

    比之均轮又微大验诸实

    测庶为近之推算之法具

    详后篇

    求两心差及撱圆与平圆之比例

    新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正?得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有竒乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为?求得股九九九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆之小半径而凡撱圆之正?角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉

    如图甲为地心乙为本天

    心甲乙为两心差甲丙为

    倍差丁戊己庚撱圆为本

    天乙丁为大半径一午万

    乙戊为小半径丙戊甲戊

    皆与乙丁等太阳行至戊

    甲戊丁分撱圆面积八十

    九度一分五十四秒为平

    行其小于九十度之五十

    八分六秒即甲乙戊勾股

    积【乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊

    丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积】亦即

    乙戊甲角【甲乙戊勾股积甲戊边即大径

    乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面

    相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲

    己则边长而角小详后篇】戊甲丁角九

    十度五十八分零六秒为

    实行其大于九十度者亦

    五十八分六秒即戊甲辛

    角与乙戊甲角等亦与丙

    戊乙角等平行实行之差

    一度五十六分一十二秒

    即甲戊丙角折半得五十

    八分零六秒即乙戊甲角

    甲戊既为一千万则甲乙

    即乙戊甲角之正?故检

    表得一六九○○○即甲

    乙两心差以甲乙为勾甲

    戊为?求得乙戊股九九

    九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆小半径也既得撱

    圆小径则凡撱圆之面线

    及角度皆可以得其比例

    以正?之比例言之试以

    乙为心乙丁为半径作丁

    壬己癸平圆则撱圆乙丁

    大半径与平圆乙壬半径

    相等戊乙小半径之小于

    平圆半径者即壬戊撱圆

    差若逐度割之则撱圆之

    余?必与平圆之余?相

    等而撱圆之正?必小于

    平圆之正?然平圆正?

    与撱圆正?之比例必同

    于平圆半径与撱圆小半

    径之比例也如丁?为初

    度无正?丁乙为初度之

    余?平圆与撱圆等丁壬

    弧为九十度无余?壬乙

    为平圆九十度之正?即

    大半径戊乙为撱圆九十

    度之正?即小半径壬戊

    即九十度之撱圆差丁子

    弧为三十度丑乙为三十

    度之余?平圆与撱圆等

    子丑为平圆三十度之正

    ?寅丑为撱圆三十度之

    正?子寅为三十度之撱

    圆差丁卯弧为六十度辰

    乙为六十度之余?平圆

    与撱圆等卯辰为平圆六

    十度之正?巳辰为撱圆

    六十度之正?卯巳为六

    十度之撱圆差则子丑与

    寅丑之比卯辰与巳辰之

    比皆同于壬乙与戊乙之

    比而子丑与子寅之比卯

    辰与卯巳之比皆同于壬

    乙与壬戊之比也奚以明

    其然也盖撱圆之与平圆

    处处皆有一小半径藏乎

    其内试取壬戊之分于乙

    心作圜则午乙未乙申乙

    酉乙皆与壬戊等壬午卯

    未子申丁酉皆与戊乙等

    是推而抵于平圆之界各

    有一小半径在也又自甲

    丙二?出线合于戊则小

    径之端在戊而末在乙自

    甲丙二?出线合于丁则

    小径之端在丁而末在酉

    若自甲丙出二线合于寅

    则小径必端在寅而末在

    戌合于巳则小径必端在

    巳而末在亥是引而归于

    平圆之径又各有一小半

    径在也夫寅戌巳亥既皆

    为小径而申戌未亥又与

    子丑卯辰为平行则寅戌

    与子申巳亥与卯未亦必

    为平行而申戌与子寅未

    亥与卯巳必各相等故乙

    子丑与戌寅丑及乙申戌

    为同式形乙卯辰与亥巳

    辰及乙未亥亦为同式形

    而子丑与寅丑之比同于

    子乙【即壬乙】与寅戌【即戊乙】之

    比卯辰与巳辰之比同于

    卯乙【即壬乙】与巳亥【即戊乙】之

    比又子丑与申戌【即子寅】之

    比同于子乙【即壬乙】与申乙

    【即壬戊】之比卯辰与未亥【即卯

    巳】之比同于卯乙【即壬乙】与

    未乙【即壬戊】之比是平圆与

    撱圆正?之比例同于大

    径与小径之比例也以角

    度之比例言之设卯乙辰

    角为平圆六十度【即丁卯弧】求

    撱圆之巳乙辰角试以乙

    辰为半径作弧则卯辰为

    卯乙辰角之正切巳辰为

    巳乙辰角之正切夫卯辰

    与巳辰之比既同于壬乙

    与戊乙之比则卯乙辰角

    之正切与巳乙辰角正切

    之比亦必同于壬乙与戊

    乙之比故以壬乙一千万

    为一率戊乙九九九八五

    七一【小余八五】为二率卯乙辰

    角六十度之正切一七三

    二○五○八为三率求得

    四率一七三一八○三四

    为巳乙辰角之正切检表

    得五十九度五十九分四

    十七秒即巳乙辰角而卯

    乙巳角一十三秒为撱圆

    差角【卯乙辰角内减巳乙辰角余即卯乙巳角】又设巳甲辰角六十度五

    十分三十二秒求卯甲辰

    角试以甲辰为半径作弧

    则巳辰为巳甲辰角之正

    切卯辰为卯甲辰角之正

    切夫卯辰与巳辰之比既

    同于壬乙与戊乙之比则

    巳辰与卯辰之比必同于

    戊乙与壬乙之比而巳甲

    辰角之正切与卯甲辰角

    正切之比亦必同于戊乙

    与壬乙之比故以戊乙九

    九九八五七一【小余八五】为一

    率壬乙一千万为二率巳

    甲辰角之正切一七九二

    三八九七为三率求得四

    率一七九二六四五七为

    卯甲辰角之正切检表得

    六十度五十分四十五秒

    即卯甲辰角而卯甲巳角

    一十三秒为撱圆差角是

    平圆与撱圆角度之比例

    亦同于大径与小径之比

    例也再以面积之比例言

    之凡平圆面积与撱圆面

    积之比例同于平圆外切

    正方面积与撱圆外切长

    方面积之比例亦即同于

    撱圆大径与小径之比例

    【撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节】如求撱圆六十度之面积

    则先设丁卯弧六十度求

    乙卯丁六十度之平圆面

    积以比之法以半周率三

    一四一五九二六五【定率圆径

    一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万

    为半径故周率为半周】用三分之得

    一○四七一九七五五为

    卯丁弧线【因卯丁弧六十度为半周三分

    之一故三分半周率而得卯丁弧线若有竒零则须

    用比例法】与乙卯半径一千万

    相乗折半得五二三五九

    八七七五○○○○○即

    乙卯丁分平圆六十度之

    面积而为丁壬己癸平圆

    全积六分之一又以壬乙

    大半径一千万为一率戊

    乙小半径九九九八五七

    一【小余八五】为二率乙卯丁积

    为三率求得四率五二三

    五二三九九七二四○九

    五即乙己丁分撱圆六十

    度之面积而为丁戊己庚

    撱圆全积六分之一也【此所

    得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径

    之小余为八四八进为八五之故然于圆度只差纎

    忽可不计也】盖将平圆撱圆二

    面积依壬癸横径缕析之

    则皆成线矣其线与线之

    比既同于大径与小径之

    比则面与面之比亦同于

    大径与小径之比故分之

    丁卯辰弧矢积与丁巳辰

    弧矢积之比卯辰乙勾股

    积与巳辰乙勾股积之比

    皆同于大径与小径之比

    而合之乙卯丁分平圆面

    积与乙巳丁分撱圆面积

    之比亦必同于大径与小

    径之比也既得撱圆与平

    圆之各比例则面线角度

    皆可得而求至于撱圆正

    ?以平圆命度而角度不

    同分撱圆面积与全积相

    当而角不相应则撱圆差

    之所生而与平圆之所以

    别也

    求撱圆大小径之中率

    凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣【见前篇】况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也

    如图甲为地心乙为本天

    心乙甲为两心差丙甲为

    倍差丁戊己庚撱圆为本

    天乙丁为大半径一千万

    乙戊为小半径九九九八

    五七一【小余八四八○一九一】试以

    乙丁大半径作丁辛己壬

    平圆则平圆与撱圆二面

    积之比例同于平圆外切

    癸子丑寅正方积与撱圆

    外切卯辰巳午长方积之

    比例又试以乙丁大半径

    为首率乙戊小半径为末

    率求得乙申中率九九九

    九二八五【小余八九】作平圆则

    大半径所作丁辛己壬平

    圆与中率所作申酉戌亥

    平圆二面积之比例亦同

    于大径平圆外切癸子丑

    寅正方积与中率平圆外

    切干坎艮震正方积之比

    例此二比例既同而干坎

    艮震正方积原与卯辰巳

    午长方积等【首率末率相乘与中率自

    乗等】则申酉戌亥平圆积亦

    必与丁戊己庚撱圆积相

    等矣乃以己丁大径二千

    万与戊庚小径一九九九

    七一四三【小余六九六○三八二】相

    乗得卯辰巳午长方积与

    干坎艮震正方积等以方

    与圆之比例定率七八五

    三九八一六二五通之得

    三一四一一四三九八二

    八二三三七为申酉戌亥

    平圆面积与丁戊己庚撱

    圆面积等将申酉戌亥平

    圆面积以三百六十度除

    之得八七二五三九九九

    五二二九为一度之面积

    其形为分平圆面其两腰

    皆为中率半径与乙申等

    其弧其角皆为一度若将

    丁戊己庚撱圆面积自甲

    心亦平分为三百六十分

    则其形为分撱圆面其两

    腰自甲丁极短以渐而长

    逐度俱不等其弧其角亦

    不等然其每分之面积则

    皆与一度之面积等故凡

    分一段撱圆面积以一度

    之面积为法而一则面积

    即可以度分命之然后以

    面积之度与角度相较而

    平行实行之差出焉如以

    甲为心以中率为半径作

    平圆则甲巽丁分撱圆面

    积为太阳距最卑后之平

    行度与甲离申分平圆面

    积等亦即与离甲申角等

    巽甲离角为平行实行之

    差其实行在平行前甲坤

    己分撱圆面积为太阳距

    最髙后之平行度与甲兑

    戌分平圆面积等亦即与

    兑甲戌角等兑甲坤角为

    平行实行之差其实行在

    平行后也

    撱圆角度与面积相求

    前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反覆参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图説详着于左

    先设以角求积法如图甲

    为地心乙为本天心甲乙

    为两心差丙甲为倍差丁

    戊己庚为本天丁为最卑

    己为最髙设太阳在辛辛

    甲丁角为实行距最卑后

    六十度求甲辛丁分撱圆

    面积平行若干度分先将

    甲辛线引长至壬作丙壬

    垂线成甲丙壬辛丙壬两

    勾股形乃以半径一千万

    为一率甲角六十度之正

    ?八六六○二五四为二

    率【丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等】丙

    甲倍两心差三三八○○

    ○为三率求得四率二九

    二七一六【小余五九】为丙壬边

    又以半径一千万为一率

    甲角六十度之余?五○

    ○○○○○为二率丙甲

    边为三率求得四率一六

    九○○○为甲壬边次以

    丙壬为勾自乗以甲壬与

    甲辛丙辛两边和二千万

    相加得二○一六九○○

    ○为股?和除之得四二

    四八【小余二五】为股?较与股

    ?和相加折半得一○○

    八六六二四【小余一三】为丙辛

    边与二千万相减余九九

    一三三七五【小余八七】为甲辛

    边即太阳距地心线次以

    半径一千万为一率甲角

    六十度之正?八六六○

    二五四为二率甲辛边为

    三率求得四率八五八五

    二三五【小余三○】即辛癸边次

    以撱圆小径九九九八五

    七一【小余八五】为一率大径一

    千万为二率辛癸边为三

    率求得四率八五八六四

    六一【小余五八】即子癸边检正

    ?得五十九度九分五十

    三秒【小余六九】即乙角度亦即

    子丁弧度次以半周天一

    百八十度化作六十四万

    八千秒为一率半圆周定

    率三一四一五九二六【小余

    五】为二率乙角度分化作

    二十一万二千九百九十

    三秒【小余六九】为三率求得四

    率一○三二六二二五【小余

    四七八四○○九】为子丁弧线与

    乙丁半径一千万相乗折

    半得五一六三一一二七

    三九二○○五为乙子丁

    分平圆面积次以撱圆大

    径一千万为一率小径九

    九九八五七一【小余八五】为二

    率乙子丁积为三率求得

    四率五一六二三七五三

    六九二五四六为乙辛丁

    分撱圆面积次以乙甲一

    六九○○○与辛癸八五

    八五二三五【小余三○】相乗折

    半得七二五四五二八八

    二八五○为辛乙甲三角

    积【辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同

    底同髙折半之积等】与乙辛丁积相

    减余五○八九八三○○

    八○九六九六即甲辛丁

    分撱圆面积以一度之面

    积定率八七二五三九九

    九五二二九除之得五十

    八度三三三四【小余八七】收作

    五十八度二十分○秒三

    十三微即实行距最卑后

    六十度时之平行度也

    又法求甲辛太阳距地心

    线将甲辛线引长至壬使辛

    壬与丙辛等又自丙至壬作

    丙壬线成甲丙壬三角形此

    形知丙甲倍两心差三三八

    ○○○知甲壬二千万知甲

    外角六【甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛

    等故甲壬亦二千万】十度用切线分

    外角法求得壬角四十九分

    五十三秒又求得丙壬边二

    【小余三六】○一七一○八○次

    将丙壬边折半【小余二九】于癸

    作辛癸垂线成壬癸辛直角

    形以半径一千万为一率壬

    角正割线一○○○一○五

    三为二率癸壬边一○○八

    五【小余三五】五四○为三率求

    得四率一○○甲辛【小余一四五】丙辛共二千万辛壬既与丙

    八六六○二【小余六一】为辛壬

    边与甲壬二千万相减余

    九九一三三九七【小余三九】即

    甲辛太阳距地心线也此

    法所得甲辛线较前法多

    二十二盖因壬角甚小比

    例易差耳然其角度自不

    爽故后借角求角之法则

    用之且以甲为心以二千

    万为半径作圜【如甲壬】又取

    两心差之倍度截直径于

    丙自丙出线至圜周【如丙壬】折半作垂线【如癸辛】所抵圜

    径之?即撱圆界【如辛?】依

    法逐度作?连之即成撱

    圆周以此发明撱圆之理

    最为精巧故附于此

    又设太阳在壬壬甲己角

    为实行距最髙后六十度

    求甲壬己分撱圆面积平

    行若干度分则以半径... -->>
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