御制厯象考成后编卷三

    交食数理

    交食总论

    用日躔月离求实朔望

    用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距求月食初亏复圆时刻【食既生光附】

    求日月实径与地径之比例【视径附】

    求影半径及影差

    求黄道高弧交角

    求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】求白经高弧交角

    求高下差

    求日食食甚真时及两心视相距

    求日食初亏复圆时刻【方位附】

    求日食带食

    交食总论

    日月相防为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食【朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食】顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤请上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出于昔人所未及者如求实朔实望用前后二时日月实行为比例昔之用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两经斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食用图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简防则又考验之常规而推步所当从也各为之说如左

    用日躔月离求实朔望

    从来求实朔望有二法一用本日次日两子正日月黄道实行度比例其相防之时刻为实朔相对之时刻为实望推逐月朔望用之【见下编推合朔?望法】以巳有本年逐日之日躔月离故也一用本年首朔先求本月平朔望之时刻然后求其平行实行之差比例加减而得实朔望之时刻推交食用之【见上编朔望有平实之殊篇及下编推日食月食法】因上考徃古下推将来不必逐日悉推其躔离而即可迳求其朔望故也斯二法诚不可偏废但从前交食求平行实行之差太隂惟用初均故甚整齐简易今求太隂初均又有诸平均之加减旣属繁难而黄白大距又时时不同非推月离不得其凖故今交食推实朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日两子正之日躔月离以求其实朔望之时又推本时次时两日躔月离以比例其时刻较之旧法似为纡逺然太隂之行甚速因迟疾差之故一日之内行度时时不同且平行实行之差大者至八九度则平朔望与实朔望之相距即至十有余时今以前后两时相比例较之止用两子正实行度相比例者固为精宻即较之以距时为比例者亦又加详矣

    用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距

    新法算书以实朔用时即为日食食甚用时以实望用时即为月食食甚时刻皆黄白同经【太隂自道度与太阳黄道度相等为黄白同经】上编以此时两心斜距犹逺惟自白极过太阳作经圏与白道成直角太隂临此直角之防两心相距最近始为食甚故以白道升度差为食甚距弧以一小时月距日实行比例得时分与实朔望用时相加减方为食甚时刻【月食即食甚时刻日食为食甚用时】其法较前为加密矣【见月食五限时刻日食三限时刻篇】近日西法用日躔月离比例求实朔望是为黄道同经较之新法算书去食甚为尤逺而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚实纬以实朔望太隂距最近防之度为食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月两经常相斜距若以太阳为不动则太隂如由斜距线行故求两心相距最近之线不与白道成直角而与斜距线成直角其距弧变时亦不以月距日实行度为比例而以斜距度为比例较之上编为尤近焉虽度分时刻所差无多而其理更为细密图说详着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为中交新法算书以日心在甲月心在丙为实朔影心在甲月心在丙为实望甲乙与丙乙等是为黄白同经无另求食甚之法上编以月行至丁为食甚甲丁距纬与白道成直角较甲丙为近故丙丁为食甚距弧以月距日实行比例得时分加于丙防实朔望之时刻方为食甚时刻今用日躔月离黄道度算则以日心在甲月心在戊为实朔影心在甲月心在戊为实望甲戊距纬与黄道成直角是为黄道同经戊之去丁较丙丁为尤逺按上编之法当以甲乙黄道度求丁乙白道升度与戊乙太隂距交白道度相减余戊丁为食甚距弧而仍以甲丁距纬为食甚两心实相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁则日亦不在甲而顾谓甲丁为食甚两心实相距戊丁为食甚距弧者盖月由戊行至己则日由甲行至庚庚己与甲丁平行甲庚与辛已等庚己与甲辛等丁己与辛己甲丁与庚己皆相差无多故借甲丁为与庚己等为两心实相距借丁己为与辛己等为日行【月食为影心行与日行等】而戊己原为月行则戊丁即为月距日之行故即以戊丁为距弧以一小时月距日实行为比例即得食甚距时也今求食甚之法以戊乙与甲乙原非平行日月两经常相斜距己防固为直角相对之时而其相距尤近必犹在己防之后试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏取一小时日实行甲癸之分截之于子取一小时月实行截白道于丑则子丑为一小时两经斜距又与戊子平行作丑寅线与子丑平行作戊寅线则寅丑与戊子等亦为一小时日实行戊寅与子丑等亦为一小时两经斜距戊寅丑与戊辛己为同式形月行为戊丑则日行为寅丑【与甲癸等】斜距为戊寅月行为戊己则日行为辛己【与甲庚等】斜距为戊辛是日月二道原非平行而两经斜距则常为一线若以日心为不动将庚防合于甲则月心己防必合于辛将癸防合于甲则月心丑防必合于寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距线上行矣乃自甲防与戊寅斜距成直角作甲夘线与丑寅平行作夘辰线与甲夘平行作辰巳线则甲己与夘辰等为实朔至食甚之日实行戊辰为实朔至食甚之月实行辰巳与甲夘等即食甚两心实相距甲夘相距之近尤近于甲辛【甲夘为股甲辛为?股必短于?也】是月心临于辰防方为食甚其实行在己防后也若以日心为不动将己防合于甲则月心辰防必合于夘故戊夘为食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑边为一小时日实行戊丑边为一小时月实行丑角与乙角等即本时黄白交角用切线分外角法求得戊角为斜距交角差【斜距交角差者乃斜距黄道交角与黄白交角之差此本系弧线三角形因其形甚小故作直线算以从简易】并求得戊寅边为一小时两经斜距次用甲戊夘三角形以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行故丑角戊角皆与乙角等】得寅戊壬角为斜距黄道交角即与夘甲戊角等【甲戊午与甲夘戊及戊夘午皆为同式三角形故寅戊壬角与夘甲戊角等】乃以半径与甲角余?之比同于甲戊与甲夘之比【此亦作直线算】而得甲夘为食甚两心实相距又以半径与甲角正?之比同于甲戊与戊夘之比而得戊夘为食甚距弧然后以戊寅一小时两经斜距为一率一小时为二率戊夘食甚距弧为三率求得四率为食甚距时盖月行为戊辰日行为夘辰斜距为戊夘戊夘辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也今设乙角为四度五十八分三十秒【丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆与乙角等】甲乙为实朔太隂黄道距中交前十度戊甲为太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○戊丁距弧为四分三十秒三五以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一此例食甚距时得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二与丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二为斜距黄道交角与夘甲戊角等又求得戊寅邉三十分二十九秒一九为一小时两经斜距次用甲夘戊三角形求得甲夘两心实相距为五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊夘距弧为四分五十二秒一三以戊寅两经斜距比例食甚距时得九分三十四秒九四比戊丁距时迟四十三秒是为两心相距最近之时若实朔望在交后则日由乙向甲月由乙向戊两心以渐而逺食甚在实朔望前距时比旧为早其【法并同】

    求月食初亏复圆时刻【食既生光附】

    月食求初亏复圆时刻以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻【初亏减复圆加】上编言之详矣【见月食五限时刻篇】今以弧线可作直线算故用勾?求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例葢食甚两心实相距既与斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也图说并着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为黄白交角实望时地影心在甲月心在丙食甚时地影心在丁月心在戊戊丁为食甚两心实相距与甲己等丙己为食甚距弧初亏时地影心在庚月心在辛辛戊为初亏至食甚之月实行庚丁为初亏至食甚之日实行与壬戊等辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距与癸巳等即初亏距弧【理与食甚同】庚壬卽食甚两心实相距与甲己等庚辛为并径与甲癸等复圆时地影心在子月心在丑戊丑为食甚至复圆之月实行丁子为食甚至复圆之日实行与戊寅等寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距与巳夘等即复圆距弧子寅即食甚两心实相距与甲己等子丑为并径与甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳甲为相等四股勾形若以地影心为不动以食甚影心丁防合于甲则月心戊防合于巳以初亏影心庚防合于甲则壬防合于巳而月心辛防合于癸以复圆影心子防合于甲则寅防合于巳而月心丑防合于夘初亏复圆距弧即与癸夘斜距合为一线矣故今求初亏复圆距弧即用癸己甲勾股形以己甲为勾癸甲为?求得癸己股与巳卯等为初亏复圆距弧夫癸己与己夘二弧既皆为两经斜距则以二弧变时亦当与斜距为比例故以一小时两经斜距与一小时之比同于癸己或己夘初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也若食既生光则甲癸甲夘二线为月半径与影半径相减之较其法并与初亏复圆同

    求日月实径与地径之比例【八十四】

    从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有逺近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之逺近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也新法算书载日实径为地径之五倍有余中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一【今监臣戴进视径附】最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑

    朔望时月天半径　　　　　　　　　　　　　　　　　【见日躔地半径差篇】与地半径之比例为一与五十【见交食日月距地与地半径之比例篇】四又百分之贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九【详本编曰躔月离地半径差篇】又用逺镜仪【西人黙爵所制以逺镜加衡为窥管】测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小余二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍余则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒余与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也测算之法并见上编

    求影半径及影差

    地影半径之大小由于太阳距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太阳在最高所生之大影为率求得太隂从高及卑所当地影之濶为影半径又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较为影差与影半径相减乃为实影半径上编言之详矣【见地影半径篇】今以三角形之理考之日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半径惟以日月两地半径差相加内减去日半径余即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有?气差能映小为大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月食时日在地下?气转蔽日光则地影视径必尤大于实径计其所大之分约为太隂地半径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有?气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由于太阳距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗为尤重查最卑太隂距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太隂距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也图说详着于左如图甲乙为地半径甲丙为日天半

    径丙丁为日半径从丁切乙作光线与丙甲线交于戊甲戊为地影之长

    甲己为月天半径庚己辛为月行所当地影之濶己甲辛角为影半径分【详上编地影半径篇】试观甲丁辛三角形丁辛

    二内角与壬甲辛一外角等而丁角即太阳地半径差辛角即太隂地半径差【甲丁线畧与甲丙日天半径等甲辛线畧与甲巳月天半径等而其角皆与甲乙地半径相当故其角即为地半径差角】壬甲巳角与丙甲丁角为对角即日半径故以丁角太阳地半径差与辛角太隂

    地半径差相加即得壬甲辛角内减日半径壬甲己角余己甲辛角即实影半径盖日月地半径差及日半径

    既因日月距地之高卑逺近而时时不同故所得影半径即为本时之实影半径不复有影差也又?气映小

    为大丙丁为太阳视半径丙癸为太阳实半径从癸切乙作光线与丙甲线交于子则月行所当地影半径为己丑而己丑之分必大于己辛且地球外?气之厚如乙寅从丁切寅作光线与丙甲线交于夘则月行所当

    地影半径为己辰而己辰之分必尤大于己辛矣此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一故又以此为影差与实影半径己甲辛角相加得己甲辰角为视影半径也

    求黄道高弧交角

    求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而畧为简易葢各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便葢黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因着其法于左

    如图甲为天顶甲乙丙为

    子午圏乙丙为地平丁为

    赤极戊己庚为赤道辛为

    黄极壬癸子丑为黄道己

    为春分丑为黄道交西地

    平之防壬为黄平象限距

    丑九十度癸为正午壬癸

    为黄平象限距正午之度

    壬寅为黄平象限距地平

    之度即丑角度子为太隂

    实行经度【日食即为太阳经度月食为太

    阳对冲地影之经度】子已为太隂距

    春分后之经度子壬为太

    隂距黄平象限之度甲子

    夘为高弧丁子辰为赤道

    经圈辰巳为赤道同升度

    戊辰为太阴距正午赤道

    度【日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子

    正赤道度】丑子夘角为黄道高

    弧交角求之之法先用戊

    己弧求癸己癸戊二弧及

    癸角次求癸丑弧及丑角

    以求子角者日食三差之

    法也先用己庚弧求己丑

    弧及丑角以求子角者月

    食方位之法也今按己子

    辰角即黄道赤经交角甲子

    丁角与辰子夘角为对角即

    赤经高弧交角两角相减即

    得丑子夘黄道高弧交角夫

    黄道交地平之丑角时时不

    同而己子辰黄道赤经交角

    则初亏与复圆无异然则先

    求得黄道赤经交角至求黄

    道高弧交角则惟求一赤经

    高弧交角与之加减而己其

    加减之法以太阴在夏至前

    后各六宫与距正午之东西

    为定试以甲为天顶作乙庚

    丙己地平圏乙甲丙为子午

    经圏庚甲己为东西经圏庚

    戊己为赤道丑己未为黄道

    己为春分

    当黄平象限丑为冬至当西

    地平未为夏至当东地平是

    为夏至前六宫在地平上癸

    为黄道当正午之度己癸为

    黄平象限距午东之度设太

    隂子防在正午之西甲子夘

    为高弧丁辰子为过赤极经

    圏己子辰角为黄道赤经交

    角甲子丁角为赤经高弧交

    角丑子夘角为黄道高弧交

    角与甲子癸角等是以甲子

    丁赤经高弧交角与己子辰

    黄道赤经交角相减余甲子

    癸角即黄道高弧交角也设

    太隂申防在正午之东甲申

    酉为高弧丁申戌为过赤极

    经圏巳申

    戌角为黄道赤经交角与丁

    申未角等甲申丁角为赤经

    高弧交角酉申未角为黄道

    高弧交角乃甲申未角之外

    角是以甲申丁赤经高弧交

    角与丁申未黄道赤经交角

    相加得甲申未角与半周相

    减余酉申未角即黄道高弧

    交角也若己为秋分当黄平

    象限未为夏至当西地平丑

    为冬至当东地平是为夏至

    后六宫在地平上癸为黄道

    当正午之度己癸为黄平象

    限距午西之度设太隂子防

    在正午之西甲子夘为高弧

    丁子辰为过赤极经圏己子

    辰角为黄

    道赤经交角与丁子未角等

    甲子丁角为赤经高弧交角

    夘子未角为黄道高弧交角

    乃甲子未角之外角是以甲

    子丁赤经高弧交角与丁子

    未黄道赤经交角相加得甲

    子未角与半周相减余夘子

    未角即黄道高弧交角也设

    太隂申防在正午之东甲申

    酉为高弧丁戌申为过赤极

    经圏己申戌角为黄道赤经

    交角甲申丁角为赤经高弧

    交角丑申酉角为黄道高弧

    交角与甲申癸角等是以甲

    申丁赤经高弧交角与己申

    戌黄道赤经交角相减余甲

    申癸角即

    黄道高弧交角也此太隂在

    午东而亦在限东太隂在午

    西而亦在限西之常法也若

    太隂在夏至前六宫而在正

    午之东如干以己干亥黄道

    赤经交角与甲干丁赤经高

    弧交角相加得己干甲角不

    足九十度与酉干丑角等则

    不与半周相减即以酉干丑

    角为黄道高弧交角乃知太

    隂干防在黄平象限巳防之

    西也葢惟正当黄平象限高

    弧与黄道成直角在限西者

    则高弧与限西之黄道成锐

    角在限东者则高弧与限东

    之黄道成锐角今己干甲角

    既不及九

    十度故知干防在黄平象

    限己防之西而干酉高弧

    乃与限西之干丑黄道相

    交成锐角也太隂在午西

    而在限东者仿此【左图以二至当

    地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当

    地平则黄平象限当正午加减之法并同】至求

    赤经高弧交角之法则以

    北极距天顶为一边影距

    北极为一边影距正午赤

    道度【日食则为日距正午赤道度】为所

    夹之角用弧三角法算之

    如太隂在申甲申丁三角

    形申角为赤经高弧交角

    甲丁为北极距天顶申丁

    为影距北极丁角当戊戌

    弧为影距正午赤道度因

    丁角为锐角则自天顶甲

    作甲坎垂弧于形内使坎角

    成直角求得甲坎丁坎二边

    以丁坎与丁申相减即得坎

    申边用之与甲坎边求申角

    也如太隂在艮甲丁艮角当

    戊己弧适足九十度成直角

    则甲丁即为垂弧即用甲丁

    艮正弧三角形以求艮角也

    如太隂在震甲丁震角当戊

    巽弧过于九十度成钝角则

    自天顶甲作甲离垂弧于形

    外使离角成直角求得甲离

    离丁二边以离丁与丁震相

    加即得离震边用之与甲离

    边求震角也又如黄道在天

    顶北太隂在坤甲坤丁赤经

    高弧交角

    大于九十度则自天顶甲作

    垂弧至兊而所求之丁兊距

    极分边反大于丁坤影距北

    极则以坤兑甲兑二边求坤

    角之外角即知甲坤丁角为

    钝角也若所求距极分边与

    影距北极等即知赤经高弧

    交角为直角不待求也至于

    赤经高弧交角有与黄道赤

    经交角相等者亦有与黄道

    赤经交角共为一百八十度

    者有反大于黄道赤经交角

    而不足减者亦有与黄道赤

    经交角相加大于半周而又

    减去半周者如北极出地二

    十三度二十九分以下夏至

    前后黄道

    正当天顶太隂子防在夏至

    未防之前而在正午之西当

    以赤经高弧交角与黄道赤

    经交角相减为黄道高弧交

    角今甲子丁赤经高弧交角

    与己子辰黄道赤经交角相

    等两角相减无余即知黄道

    与高弧合无交角也又如太

    隂申防在夏至未防之前而

    在正午之东当以赤经高弧

    交角与黄道赤经交角相加

    为黄道高弧交角今甲申丁

    赤经高弧交角与巳申戌黄

    道赤经交角相加共一百八

    十度亦如黄道与高弧合无

    交角也又如北极出地在二

    十三度以

    下夏至前后黄道在天顶北

    太隂子防在夏至未防之前

    而在正午之西当于黄道赤

    经交角内减赤经高弧交角

    为黄道高弧交角今甲子丁

    赤经高弧交角与辰子夘角

    等反大于巳子辰黄道赤经

    交角则于辰子夘赤经高弧

    交角内反减巳子辰黄道赤

    经交角余巳子夘角为黄道

    高弧交角即知黄平象限在

    天顶北也又如太隂申防在

    夏至未防之前而在正午之

    东当以赤经高弧交角与黄

    道赤经交角相加为黄道高

    弧交角今甲申丁赤经高弧

    交角与戌

    申酉角等与巳申戌黄道赤

    经交角相加大于一百八十

    度则减去巳申戌角及戌申

    未角共一百八十度余未申

    酉角为黄道高弧交角亦如

    黄平象限在天顶北也总之

    黄道出入于赤道之内外随

    天左旋其高低斜正旣随时

    不同又以人所居之南北异

    地改观益多变换然定之以

    数自无遁形或从地平立算

    或从子午圈立算或从赤道

    经圈立算法虽不同理实一

    致合而观之益见弧线三角

    之用至通变矣

    求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】

    定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同

    求白经高弧交角

    日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左

    如图甲为天顶乙丙丁戊

    为地平圏丙己戊为赤道

    庚己辛为黄道己为春分

    庚为冬至辛为夏至癸为

    赤极【即北极】壬为黄极庚壬

    癸辛为过二至经圏即过

    二极经圏冬至日行在庚

    黄赤二经合为一线无交

    角冬至后日行自南而北黄

    经必在赤经西渐逺则角渐

    大至春分而止如日行在子

    壬子黄经在癸子赤经西壬

    子癸角为黄赤二经交角即

    癸子己黄道赤经交角之余

    春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬

    己癸角为黄赤二经交角与

    戊己辛二道交角等是为最

    大过此又渐小【壬己辛角戊己癸角

    皆九十度】夏至日行在辛则黄

    赤二经又合为一线无交角

    夏至后日行自北而南黄经

    必在赤经东渐逺则角又渐

    大至秋分而止如日行在丑

    壬丑黄经在癸丑己子壬角

    九十度壬己辛角戊己癸角

    赤经东壬丑癸角为黄赤

    二经交角即癸丑辛黄道

    赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘

    角等】秋分日行在寅壬寅黄

    经在癸寅赤经东壬寅癸

    角为黄赤二经交角与丙

    寅辛二道交角等过此又

    渐小至冬至乃复合为一

    线也至白道之交于黄道

    亦如黄道之交于赤道但

    其行度自正交起算交食

    时日月又必近交故其南

    北东西及两经交角惟以

    两交为定设白极在辰正

    交在午白道自南而北【犹黄

    道之春分】日行在正交防如午

    或正交前如子正交后如

    巳白经皆在黄经西黄白

    二经交角皆与黄白二道

    交角为相等【惟日在正交午防其壬午

    辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在

    交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经

    交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与

    上编捷法同】此黄经在赤经西

    白经又在黄经西则以黄

    白二经交角与黄赤二经

    交角相加为赤白二经交

    角也设白极在申中交在

    酉白道自北而南【犹黄道之秋分】日行在中交防如酉或中

    交前如子中交后如已白

    经皆在黄经东黄白二经

    交角亦与黄白二道交角

    为相等此黄经在赤经西

    而白经在黄经东则以黄

    白二经交角与黄赤二经

    交角相减为赤白二经交

    角黄赤二经交角大则从

    黄经之向白经亦在赤经

    西也设黄经在赤经西而

    中交近二至经圏如戌亥

    戌白经在壬戌黄经东壬

    戌亥黄白二经交角反大

    于壬戌癸黄赤二经交角

    相减余癸戌亥角为赤白

    二经交角则从白经之向

    白经转在赤经东也旣得

    赤白二经交角是为初亏

    食甚复圆同用之数【初亏至复

    圆太阳行度无几故二经交角不改】随时求

    得赤经高弧交角与之加

    减即得各时白经高弧交

    角如日行在子是为午后

    甲子癸角为赤经高弧交

    角辰子癸角为赤白二经交

    角此赤经在高弧西白经又

    在赤经西则相加得辰子甲

    角为白经高弧交角白经更

    在高弧西是知太阳在白平

    象限西也又如日行在己是

    为午前甲己癸角为赤经高

    弧交角辰己癸角为赤白二

    经交角此赤经在高弧东白

    经在赤经西则相减余甲己

    辰角为白经高弧交角赤白

    二经交角大白经为在高弧

    西是知太阳虽在午东而却

    在白平象限西也盖惟太阳

    正当白平象限则白道经圏

    过天顶与高弧合为一线限

    东者白经

    必在高弧东限西者白经必

    在高弧西是定白经之东西

    与白平象限一理也又与白

    道平行作干坎线则辰子坎

    角为九十度甲子坎角为白

    道高弧交角与干子艮角等

    甲子辰白经高弧交角即甲

    子坎角之余是用白经高弧

    交角与用白道高弧交角一

    理也又如癸丁北极出地二

    十八度赤道距天顶之甲震

    弧亦二十八度春分巳防在

    午西夏至前巽防当正午震

    巽距赤道北二十三度余正

    交在离巽甲距黄道北又四

    度余则白道在天顶与高弧

    合日行在

    离甲离癸赤经高弧交角与

    癸离坤赤白二经交角相加

    得甲离坤白经高弧交角适

    足九十度盖白经与白道相

    交其角必九十度白道既与

    高弧合故白经高弧交角亦

    九十度也过此以徃北极愈

    低则白道极北入地平下南

    出地平上白道即在天顶北

    白经高弧交角即大于九十

    度而成钝角则与半周相减

    余为白道南之经圏与高弧

    相交之角是不求限距地高

    而白平象限在天顶之南北

    俱以白经高弧交角为定也

    白经在赤经东者仿此

    求高下差

    高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太隂地半径差恒大故于太隂地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉【见上编日食三差及日月地半径差篇】如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太隂以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正?之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比【见本编日躔地半径差篇】而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正?之比【交食时日月高弧畧相等故即以日高弧为月高弧】必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太隂距地数求得太隂地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正?为比例其法甚为省便也

    如图甲为地心乙为地面丙

    丁为日天戊己为月天假如

    日在庚实距天顶为丙甲庚

    角视距天顶为丙乙庚角与

    丙甲丁角等其差庚甲丁角

    即地平太阳地半径差与甲

    庚乙角等甲乙地半径即其

    角之正?与庚辛等又如日

    在壬实高为壬甲丁角视高

    为壬乙庚角与癸甲丁角等

    其差壬甲癸角即本时太阳

    地半径差与甲壬乙角等将

    壬乙线引长作甲子垂线即

    其角之正?与壬丑等甲乙

    子勾股形子角为直角乙角

    与丙乙壬角为对角即太阳

    视距天顶

    之度甲乙即地平太阳地半

    径差之正?甲子即本时太

    阳地半径差之正?因其边

    度甚小正?与弧线可以相

    为比例则甲乙即为地平太

    阳地半径差与庚丁弧等甲

    子即为本时太阳地半径差

    与壬癸弧等故以子直角正

    ?与乙角正?之比即同于

    地平太阳地半径差甲乙与

    本时太阳地半径差甲子之

    比也假如太隂在寅实距天

    顶为寅甲戊角视距天顶为

    寅乙戊角与已甲戊角等其

    差寅甲巳角即地平太隂地

    半径差与甲寅乙角等甲乙

    地半径亦

    其角之正?【甲乙同为地半径甲庚日

    天半径大故角小甲寅月天半径小故角大】与

    寅夘等又如月在辰实高为

    辰甲己角视高为辰乙寅角

    与巳甲己角等其差辰甲巳

    角即本时太隂地半径差与

    甲辰子角等甲子亦其角之

    正?与辰午等因以正?作

    弧度则甲乙即地平太隂地

    半径差与寅己?等甲子即

    本时太隂地半径差与辰巳

    弧等故以子直角正?与乙

    角太隂视距天顶正?之比

    亦同于地平太隂地半径差

    甲乙与本时太隂地半径差

    甲子之比也试以日天半径

    与月天半径为甲乙同为地

    半径甲庚日天半径大故角

    相等而比较之【日天月天半径不等

    故地半径虽等而差角不等今以日天半径与月天

    为相等则差角之不等者其正?亦不等乃可相较

    也】自地平太阳实高线割

    月天之未防与乙庚视高

    线平行作未申线则甲未

    申角与甲庚乙角等甲申

    即地平太阳地半径差【甲申

    本系甲未申角之正?因以正?作弧度则甲申正

    ?与未已弧等而月天之未已弧与日天之庚丁弧

    同当庚甲丁角其度相等故甲申即为地平太阳地

    半径差】与甲乙地平太隂地

    半径差相减余申乙即地

    平高下差【甲乙当寅已弧甲申当未巳弧

    乙申当寅未弧】自本时太阳实高

    线割月天之酉防与乙壬

    视高线平行作酉申线引

    长至戌则甲酉戌角与甲

    壬乙角等甲戌即本时太

    阳地半径差与甲子本时

    太隂地半径差相减余戌

    子即本时高下差与申亥

    等【甲子当辰巳弧甲戌当酉巳弧子戌当辰酉弧】申乙亥与甲乙子为同式

    形故以亥直角正?与乙

    角日距天顶正?之比亦

    即同于地平高下差申乙

    与本时高下差申亥之比

    也

    右求高下差以半径与太

    阳视距天顶之正?为比

    例今日食所推太阳高弧

    乃实距天顶之度而即以

    其正?比例高下差者盖

    实高与视高所差无多故

    借用之自来实高视高相

    求皆同一地半径差加减互

    用不列二表也如细辨之地

    平太阳实高在丁太隂实高

    在已丁乙庚角为地平太阳

    地半径差与甲丁乙角等甲

    乙地半径为其角之切线当

    庚丁弧巳乙辛角为地平太

    隂地半径差与甲己乙角等

    亦以甲乙地半径为其角之

    切线当辛巳弧前以地半径

    为其角之正?此以地半径

    为其角之切线其角度虽有

    微差然最大者不过半秒愈

    高则愈小故亦以弧度为比

    例而甲乙即为地平太阳地

    半径差亦即为地平太隂地

    半径差也

    本时太阳实高在壬太隂在

    癸壬乙子角为本时太阳地

    半径差与甲壬乙角等乙丑

    为其角之垂线当子壬弧癸

    乙寅角为本时太隂地半径

    差与甲癸乙角等亦以乙丑

    为其角之垂线当寅癸弧丑

    壬之长小于甲壬丑癸之长

    小于甲癸则角度必较弧度

    为稍大盖视高低于实高其

    大固宜然所差甚微故亦以

    弧度为比例而乙丑即为本

    时太阳地半径差亦即为本

    时太隂地半径差也试自地

    平太阳视髙线割月天之卯

    防与甲丁实高线平行作卯

    辰线则乙

    夘辰角与甲丁乙角等乙辰

    当辛夘弧即地平太阳地半

    径差以乙辰与地平太隂地

    半径差甲乙相减余甲辰当

    夘已弧即地平高下差自本

    时太阳视高线割月天之巳

    防与甲壬实高线平行作巳

    辰线则乙巳辰角与甲壬乙

    角等乙午当寅巳弧即本时

    太阳地半径差以乙午与本

    时太隂地半径差乙丑相减

    余午丑与辰未等当巳癸弧

    即本时高下差甲乙丑与甲

    辰未为同式形丑未二角为

    直角甲角为日月实距天顶

    之度故以直角正?与实距

    天顶正?

    之比同于地平地半径差甲

    乙与本时地半径差乙丑之

    比亦同于地平高下差甲辰

    与本时高下差辰未之比也

    今日食用简平仪法求地面

    日影心之所在皆用实高比

    例高下差设日实高在丁则

    正射地心照至地面酉防之

    影当月天巳防之度照至地

    面乙防之影当月天夘防之

    度是酉乙地面上应日天实

    距天顶之丙丁弧而其当月

    天之度则为夘巳高下差也

    设日实高在壬则正射地心

    照至地面申防之影当月天

    癸防之度照至地面乙防之

    影当月天

    巳防之度是乙申地面上

    应日天实距天顶之丙壬

    弧而其当月天之度则为

    巳癸高下差也若以地平

    高下差为半径作地面平

    圆则甲乙即夘巳之度为

    地平　　　　　　　　　　　　　　　【等】高下差当乙酉地

    【以地球为平面则地面之弧与正?等甲乙为乙酉

    弧之正?故甲乙当乙酉弧】面与日天

    之丙丁弧等乙丑即巳癸

    之度为本时高下差当乙

    申地【乙丑为乙申弧之正?故乙丑当乙申弧】面与日天之丙壬弧等由

    此推之时时实距天顶之

    度在地面皆与本时高下

    差【实距天顶之度原与地面之弧度等简平仪以

    地球为平面则地面之弧又与地面之正?等今地

    面之正?既为高下差故实距天顶之度即与高下

    差等】故随高弧之所向以高下

    差之度自圆心取之即日影

    心之所在随白经之所向以

    实纬之度自圆心取之即月

    影心之所在此所以用实高

    为比例于视差之理尤为显

    而易明也差等

    求日食食甚真时及两心视相距

    日食求食甚真时及食甚视纬新法算书用浑天仪法以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较得视行以用时之东西差比例得时分与食甚用时相加减【限西加限东减】而得食甚真时以真时之南北差与食甚实纬相加减【白平象限在天顶南纬南则加纬北则减白平象限在天顶北纬南则减纬北则加】而得食甚视纬上编言之详矣【见日食三限时刻及求食甚真时食甚视纬篇】然其求真时也必求太隂视行正当实纬之度乃以视行之道与白道为平行故与实纬成直角而视纬与实纬必合为一线也夫近时之东西差与用时之东西差既不等【因白道髙弧交角及高下差不同之故】则南北差亦不等而视行即不与白道平行视行既不与白道平行则实纬即不与视行成直角而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣近日西法用简平仪绘图算【浑仪从上视如观平面是为简平仪】以本日地平高下差【本日地平日月两地半径差相减余为本日地平高下差】为半径作平圆【即地径当月天之度】即地受日照之半面上应浑天半周圆心即日射地面至地心之防以人视日则人所处之地面即日影心以日照月则月所当之地面即月影心假令人所处之地面正在圆心则必见日当天顶又正当子午圏而月之实纬即日月两心视相距外此则日影心之所在随时随地不同若日影心与月影心同防则必见日全食若日影心与月影心之相距大于并径则不见食故先以食甚用时求其两心视相距复设一时【限西向后设限东向前设】亦求其两心视相距以此两视距线及所夹之角求其对边为视行自日影心至视行作垂线与视行成直角是为两心相距最近之处月影心临此直角之防即为食甚真时因垂线不与实纬合故不曰视纬而曰两心视相距然后以所得真时复考其两心视相距果与所求垂线合则食甚真时即为定真时不然则又作垂线求之盖太隂视差时时不同其视行之道既不与白道平行又不能自成直线其两心视相距最近之线不与白道成直角而与视行成直角【两心实相距不与白道成直角而与斜距成直角两心视相距又不与斜距成直角而与视行成直角今法与旧法之不同在此】故反覆推求务得太隂正当视行直角之防斯为两心最近之处而食甚乃为确凖也是法也可以图代算可以一图而知各地见食之不同新奇精巧与旧法迥殊然其理无不可以相通盖旧法以浑测浑可实指其东西南北之差而视行之法甚简新法写浑于平可实稽其实距视距之异而视差之理尤精今以新法合旧名义防观而详觧之则理之确者以并观而并明法之奇者因相较而益显庶观者由旧径以适新途不致有捍格之势而算者取新规以合旧范更坐収密合之方矣

    如雍正八年庚戌六月戊

    戌朔日食太隂实引初宫

    八度四十七分三十一秒

    四○地平地半径差五十

    三分五十九秒九○内减

    太阳地平地半径差十秒

    余五十三分四十九秒九

    ○为本日地平高下差以

    此为干坎半径作坎艮震

    巽平圆【以五十三分作五寸三分以四十九

    秒九○通作八厘三毫绘图用四分之一后仿此】即地球受日照之半面上

    应浑天半周而其当月天

    之度则为五十三分五十

    秒【四十九秒九○进为五十秒入算仍用小余他

    仿此】故以地球上应浑天之

    度而论则干为日照地面

    之正中距圆界各九十度

    【以地球为平面则地面之弧与正?等半径为九十

    度之正?故半径即九十度】假令人在

    圆心干则见日当天顶又

    当正午坎震赤道径圏即

    其地之子午圈艮巽即其

    地之夘酉圏坎为北震为

    南艮为东巽为西若人在

    圆界则见日当地平在坎

    震线之西者见日为午前

    在坎震线之东者见日为午

    后自是以外则见日之高下

    随地不同要以人所处之地

    面为日影心上应本处天顶

    人距日照地面正中之度即

    日距天顶之度而以地面所

    当月天之度而论则地之半

    径与地平高下差等人距日

    照地面正中之度与本时高

    下差等故随高弧之所向以

    本时【见前高下差篇】高下差之度

    自圆心取之即人所处之地

    面亦即本时之日影心随白

    经之所向以月实纬之度自

    圆心取之即本时之月影心

    夫月影心当月天之度即太

    隂之实纬度见前高下差篇

    而日影心当月天之度不

    为太阳之实高度而为太

    阳之视高度则地面日月

    两影心之相距因高下差

    而殊而食甚之早晚食分

    之浅深所以因视差而变

    者皆可按图而稽矣乃以

    本时日距赤道北二十一

    度三十八分一十二秒○

    二取艮离巽坤之分【即离干艮

    角与坤干巽角等】作离坤线截赤

    道经圏于兑作艮兑巽弧

    为赤道则兑干即日距赤

    道北之纬度又作甲干乙

    弧为赤道距等圈即太阳

    随天西转之轨又以坎艮

    九十度之分自离截圆界

    于丁自坤截圆界于丙作

    丙丁线截子午圈于戊则

    戊防为北极戊兑为九十

    度戊干为日距北极六十

    八度二十一分四十七秒

    九八又以本时黄赤二经

    交角九度二十一分二十

    秒五七取坎干己角【本时日在

    夏至后黄经在赤经东故向东取】作己庚

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