勾股义

各与句等即庚未未午两形并为句幂而丁庚午丁两形并为股幂矣丁戌戌酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙元等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股幂之甲戌形等此两率者各减一等较幂之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等

    又法曰股自之得一千二百九十六为实以句?较十八为法除之得句?和七十二加较得九十半之得?四十五减较得句二十七

    论曰股幂为甲己直角方形以较而

    一为甲辛直角形即得甲壬边与乙

    丙丙甲句?和等何者甲丙?幂之

    甲丑直角方形内当函一股幂一句

    幂【一卷四七】试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁较线等即卯丑辰丙俱与等乙丙句之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与

    句等句幂也即甲卯卯辰两形当与

    股幂等亦当与甲辛形等而甲庚卯

    寅皆较也甲子?也卯丑句也则甲

    辛形之甲壬边与句?和等

    第十题

    股?较求股求?

    法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙?之较为丙丁九求股求?以句自之得七百二十九较自之得八十

    一相减得六百四十八为实倍较为

    法除之得甲乙股三十六加较得甲

    丙?四十五

    论曰句幂为乙己直角方形较幂为

    丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚己磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚己磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙?幂之甲癸直角方形内当函一句幂一股幂【一卷四七】试于甲癸形内截取丙丑较幂之外分作甲丑丑癸丑子三直角形即丑子与股幂等而丙丑甲丑丑癸三形并当与句幂等次各减一相等之丙

    丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚己磬

    折形等亦与辛壬直角形等辛乙与

    寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅

    癸等亦与甲乙等

    又法曰句自之得七百二十九为实以较为法除之

    得股?和八十一加较得九十

    半之得?四十五减较得股三

    十六

    论曰句幂为丙戊直角方形以较而一为丙己直角形即得丙庚边与甲乙甲丙股?和等何者甲丙?幂之甲辛直角方形内当函一股幂一句幂【一卷四七】试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与股幂等而丁辛丁癸两形并当与句幂等亦与丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆较也而甲丁与股等丙辛与?等即丙庚与股?和等第十一题

    勾股和求股求句

    法曰甲丙?四十五甲乙乙丙勾股和六十三求句

    求股以?自之得二千○二十五句

    股和自之得三千九百六十九相减

    得一千九百四十四复与?幂相减

    得八十一开方得勾股较甲卯九加

    和得七十二半之得甲乙股三十六

    减较得乙丙句二十七

    论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲己直角方形此形内函甲辛癸己两股幂乙寅庚壬两句幂而甲辛癸己之间重一癸辛直角方形夫甲丙?之幂既与勾股两幂并等【一卷四七】以减甲己形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于?幂者为癸辛形矣乙辛股也乙丑句也则丑辛较也

    第十二题

    句?和求句求?

    法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句

    ?和七十二求句求?以股自之

    得一千二百九十六句?和自之

    得五千一百八十四相减得三千

    八百八十八半之得一千九百四十四为实以和为法除之得乙丙句二十七以减和得甲丙?四十五论曰以句?和作乙丁一直线自之为乙戊直角方形次用句?度相减取丙庚两防从丙从庚作庚辛

    丙壬二平行线依此法作癸子丑

    寅二平行线即乙戊一形中截成

    丙子丑辛丁卯午己句幂四庚未

    辰壬癸辰未寅较句矩内直角形

    四卯午较幂一也今欲于乙戊全形中减一甲乙股之幂则于卯己?幂内【一句一幂并为?】存午己句幂而减子午辛磬折形即股幂矣何者卯己?幂内当函一句幂一股幂也【一卷四七】又庚未与未寅等即庚壬形亦

    股幂也以庚壬形代磬折形即

    丁辛丙己两形为和幂与股幂

    之减存形也半之即丙己形以等

    句?和之乙己除之得乙丙句

    又法曰股自之得一千二百九

    十六以句?和七十二为法除之得十八为句?较加句?和得九十半之得四十五为?减较得二十七为句

    此法与本篇第九题又法同论

    第十三题

    股?和求股求?

    法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股?和八十一求股求?以句自之得七百二十九股?和自之得六千

    五百六十一相减得五千八百三十

    二半之得二千九百一十六为实以

    和为法除之得甲乙股三十六以减

    和得甲丙?四十五

    论曰乙丁和幂内之戊己句幂也余论同本篇十三

    题

    又法曰句自之得七百二十九以

    股?和八十一为法除之得九为

    股?较加股?和得九十半之得四十五为?减较得三十六为股

    此法与本篇第十题又法同论

    第十四题

    股?较句?较求句求股求?

    法曰甲乙股甲丙?较二乙丙句甲丙?较九求句求股求?以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为?和较加句?较九得甲乙股十

    五加股?较二得乙丙句八以

    句?较加句或股?较加股得

    十七为甲丙?

    论曰股?较甲丁二自之得四

    为己庚直角方形句?较乙戊

    九自之得八十一为辛壬直角

    方形两幂并得八十五以二减

    九得七即勾股较自之得四十

    九为干兊直角方形元设两较

    互乘为癸戊子丑两直角形并

    得三十六以三十六减八十五

    亦得四十九何以知癸戊子丑

    三十六为实开方得六之寅卯

    直角方形边则?和较也凡直

    角三边形之?幂必与勾股两幂

    并等【一卷四七】甲乙丙既直角形则

    甲乙乙丙两幂并必与甲丙幂

    等今于甲乙股加甲辰?丙乙

    句加乙午?甲丙?加丙未句

    未申股各作一直线以此三和

    线作一三边形【一卷廿二】即甲申上

    之甲酉直角方形必不等于丙

    午上之丙戌直角方形乙辰上

    之乙亥直角方形并而此不相

    等之较必勾股较幂之四十九

    也何者若于甲酉丙戌乙亥三

    直角方形各以元设勾股?分

    之即甲酉形内有?幂一股幂

    一句幂一股?矩内形二句?

    矩内形二勾股矩内形二而乙

    亥形内有?幂一股幂一股?

    矩内形二丙戌形内有?幂一

    句幂一句?矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戌内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戌或乙亥内存?幂一次以此两存形相当相抵则一?幂之大于两勾股矩内形必勾股较幂之四十九也何者一?幂内函一句幂一股幂今试如上图任作一甲乙?幂其乙丙为句幂则丁丙戊磬折形必与股幂等乙己为股幂则丁己戊磬折形必与句幂等次以乙

    庚辛壬两勾股矩内形辏乙角依角傍两边纵横交加于?幂之上即得勾股之较幂丙己而乙丙上重一句幂次以所重之句幂补其等句幂之丁己戊磬折形则甲乙?幂之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙己勾股较幂矣故知向者乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较幂之四十九也则乙亥丙戌两形并其大于甲酉形亦勾股较幂之四十九也今于辛壬较幂内减勾股较幂四十九之干兑直

    角方形其所存干离震兊两余

    方形及离震己庚两直角方形

    并必与癸戊子丑两形并等次

    以癸戊子丑两形开方为寅卯

    形则减寅卯之甲酉形与减辛

    壬之丙戌形减己庚之乙亥形

    并必等而减寅卯之甲酉形内

    元有?幂如甲寅者四有?偕

    寅卯形边矩内形如寅巽者四减辛壬之丙戌形内元有句幂如丙辛者四有句偕句?较矩内形如辛坎者四减己庚之乙亥形内元有句幂如己辰者四有股偕股?较矩内形如甲己者四今以四?幂当四句幂四股幂【一卷四七】则甲己辛坎两形并必与寅巽形等甲丙与巽申等?也丙申勾股和也则两?间等寅卯形边之丙巽不得不为?和较矣既得丙巽六为?和较即以元设两较相加可得勾股?各数也何者巽申?也巽艮句?较也艮申句也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申句则丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲?也丙坤股?较也坤甲股也巽甲勾股和也于巽甲勾股和减坤甲股则巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲则?也

    第十五题

    句?和股?和求句求股求?

    法曰甲丙乙丙句?和七

    十二甲乙甲丙股?和八

    十一求句求股求?以两

    和相乘得五千八百三十

    二倍之得一万一千六百

    六十四为实平方开之得?和和一百○八以股?和减之得乙丙句二十七以句?和减之得甲乙句三十六以勾股和减之得甲丙?四十五

    论曰两和相乘为乙己直角形倍之为丁戊直角形以为实平方开之得己庚直角方形与丁戊等即其边为?和和者何也丁戊全形内有?幂二股?矩内形句?矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一?幂己庚形内余一句幂一股幂并二较一亦等【一卷四七】即己庚方形之各边皆?和和