卷二

    钦定四库全书

    庄氏算学卷二

    淮徐海道庄亨阳撰

    几何原本举要

    凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界

    为凡角大小之规也

    二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成

    之二角俱为相等

    在平行线上作一斜直线即成八角此八角之

    庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等

    凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也

    若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知

    凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者

    凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也

    凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也

    凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至

    一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形

    凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等

    于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分

    凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中

    凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分

    四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必

    等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊

    己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也

    两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然

    凡众角形自角至心作线有防界即成防角形若作六界即成六三角形矣

    欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角

    度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也

    凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆

    凡一直线横分圆界谓之?如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙?线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆

    之弧分之角

    凡自?之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角

    自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外

    凡在圆?线若自圆心作垂线可以平分?线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂

    线便是平分也

    凡自圆外一防至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐

    线互为垂线而两线相遇之角

    必俱为直角又于两直角作一

    对角线是谓?线而成丁乙丙

    与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣

    凡圆有两?线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两?各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两?线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等

    于甲乙辐线末作垂线者切线也甲

    辐线割圆于戊而至丁者割线也戊

    垂线至己者正?也凡立于乙戊弧

    之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也

    三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一

    小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也

    自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有防何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心

    角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也

    圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎

    凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧

    之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也

    凡圆之界角若在半圆分之大分内必为鋭角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此

    心角形所对既不足圆界四分之一则为鋭角也既为鋭角则甲乙丙角必为鋭角可知矣

    函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也

    有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等高等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也

    一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也

    有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也

    众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也

    有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣

    凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线

    相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面

    平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面

    自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处

    不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣

    平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣

    凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成鋭角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣

    众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也

    平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也

    相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也

    二平行而上凡相当之各二线俱为平行也

    二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状

    各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄防是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成鋭尖此谓尖圆体也

    所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣

    凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也

    凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体

    平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也

    平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例

    平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也

    平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节

    平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半

    各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳

    凡等式体苟立于等积之底其体之高若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也

    有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其高数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见

    凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体

    厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣

    凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣

    凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍之数也

    又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定凖此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四从三防几分为均其一与二之比即如三与四之比为同理比例也

    有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也有相连比例率如甲线一【一率】乙线二【二三率同】丙线四【四率】甲与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例仿此于相连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难于讲觧试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大小虽不同而分数为等故以大圆周为一率庚己弧为二率小圆周为三率壬

    辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相当分数俱等是为顺理比例也仿此凡各率各度虽异相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其比例亦无不同也

    一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则又为五之一比例亦然也

    一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七之一也

    一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数如原各为六之一今又各为六之五也

    一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与四率为比合为一四率仍为相当比例率也

    一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比

    也

    一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁线互相之比同于原甲乙二线之比也

    得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则互相为比例也

    以二数相乗所得两数为均若以二线均为几度每各线度作小方形以此线小方乗彼线小方即成两直角四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乗形亦均也又一线分为三度作小方形一线分为四度有奇作小方形一线横一线纵乗成函十二长方形而奇数亦附于方末也

    又将前线所作方形取其半相乗亦得四方形也盖取三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也四方直角平面形凡在一线可以相乗也如甲乙形欲

    乗丙丁线则将此

    形作四小方体又

    将丙丁依甲乙所

    分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垜之遂成函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也

    凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长度与小形之长度几倍为均大形之寛度与小形之寛度几倍为均是也然合【阙】比两比例仍是一比例如甲方之长与乙方之长三倍为均甲方之寛与乙方之寛两倍为均二三相乗为六则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也

    若长四倍为均寛三倍为均三四一十二则大

    形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍则以四除十二得三倍为均皆成一比例也

    有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之寛反倍于此形之寛则此两形之积为等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得数必同于一率四率相乗所得数也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首尾率二六相乗亦一十二也试将三度四度之线相乗作长方形又将二度四度线相乗作长方形形虽不同而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率则以一率与四率相乗所得数与二率三率相乗所得数无以异也如东河之水流速三倍西河之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乗之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得饷银一十两试相乗之数又等也

    有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而

    为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与乙之面内六倍为均者有六矣

    丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一

    倍之比例也

    前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也

    在相同直角面纵横两相当界之比例必等也

    在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也

    直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣

    有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也

    有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也

    凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也

    凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此

    界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也

    凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则

    面亦大三倍也

    凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也

    凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见

    凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊

    一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也

    凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也

    如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之

    戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑

    壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也

    三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也

    有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣

    同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也

    同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也

    同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节

    有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也

    有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直

    界形其

    式若等

    亦谓同

    式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也

    大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也

    将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形

    则甲乙丙与己庚辛相当为同

    式甲丙丁与己辛壬相当为同

    式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也

    凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一

    面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前

    凡大小同式直界形互相之比同

    于在其形内外相函之同式形各

    相当界立作平面方形互相比之

    比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也

    凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之

    比同于在所比形之内外

    相函同式形之每每相当

    所作方形相比之比例也如

    图大小二圆形内虽函六面同式多边

    两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣

    凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也

    同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也

    自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两

    角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短

    者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也

    自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为高合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线

    凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也

    凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与?上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每

    相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为高与三率乙丙为长相乗所

    作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣

    在勾股?三界作凡同式三形?上积兼有勾股之积也

    在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也

    一圆之内二?线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也

    盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也

    于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理

    自圆外之凡一防出二线过圆界

    之二处至相对弧界则此两全线

    互相之比同于在圆界外所有之

    二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交... -->>
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