卷七

六十六寸有余即上下不等正方体形之积也

    设上下不等长方体形上方长四尺濶三尺下方长八尺濶六尺高十尺问积几何

    法以上长四尺与上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺与下长八尺相乗得二十四尺以下濶六尺与上长四尺相乗得二十四尺四数相并得一百六十八尺与高十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也

    又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上濶三尺相乗得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下濶六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也

    设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下濶五尺高十二尺问积几何

    法以上长十尺与下濶五尺相乗得五十尺以高十二尺再乗得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下濶五尺相乗得二十尺以高十二尺再乗得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸高相乗折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙濶相乗得

    乙辛与庚辛二尖方体之底面积与高相乗三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也

    设两两平行边斜长方体形长二尺四寸濶八寸高二尺七寸问积几何

    法以长二尺四寸与濶八寸相乗得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙濶与丙丁长相乗得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乗成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也

    设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何

    法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸

    为内方边与外方边相乗长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅夘辰一长方面积其丑寅濶与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长濶之较故以厚二寸倍之为带纵求得濶为内方边长为外方边也

    又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乗再乗得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也

    设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何

    法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乗再乗得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千

    三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方亷体寅夘辰三长亷体己一小隅体以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体与磬折体积相减余三方亷体三长亷体三

    归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长濶之较故用带纵开平方法算之得乙庚濶与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也

    设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何

    法以共边二十四尺自乗再乗得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得

    一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长濶和用?纵和数开平方法算之得濶八尺即小正方之边数与共濶二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乗再乗则成壬乙癸子一总

    正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅夘三方亷体辰已午三长亷体三归之则得丑一方亷体辰一长亷体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬濶与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长濶和用带縦和数开平方法算之得未壬濶即小正方之边数与长濶和相减余壬戊长即大正方之边数也

    设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之

    法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减余一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表高四尺余四丈六尺即水边低于河坡平处之数也

    设人在山上欲知山涧之深用重表测之

    法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减余四寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表高四尺余二丈一尺即所求山涧之深也

    设东西二树欲知其相距之逺测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距

    法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为

    同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺【因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为二树相距数五十分之一】即二树相距之逺也

    设东西二树欲知其相距之逺用重表或取同式形测之问二树相距

    法先用不取直角测逺法【如测石测树之法】求得二树距测处之逺再用知两逺求相距之法求之

    设左右两峰不知其高逺欲求两峰相距

    法先用重表求高逺法各求得高与逺【其高为尖峰距地平之高其逺为山根距测处之逺】如求得左峰高四十八丈逺六十四丈右峰高六十五丈逺七十二丈乃用勾股求?法以左峰四十八丈为股逺六十四丈为勾求得?八十丈即左峰距人之逺以右峰高六十五丈为股逺七十二丈为勾求得?九十七丈即右峰距人之逺然后用知两逺求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之逺

    左峰高如左甲逺如甲丙右峰高如右乙逺如乙丙两峰相距如

    设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深

    设井口径濶九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表高四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表高四尺为二率井口濶九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也

    方圆诸率

    径○七

    周二二

    径○五○

    周一五七

    径○三二

    周一○○

    径一一三

    周三五五

    径一○○○○○○

    周三一四一五九二

    凡径求周者以周率乗以径率除得周周求径者以径率乗以周率除得径

    平方积四○○○○○○○○

    平圆积三一四一五九二六五

    平方积一○○○○○○○○

    平圆积○七八五三九八一六

    平方积四五二

    平圆积三五五

    平方积一四

    平圆积一一

    立方积　同平方率

    圆柱积同平圆率

    圆周自乗积八八

    圆周中占积○七

    方柱积三

    方锥积一

    圆柱积三

    圆尖积一

    圆柱积三

    圆球积二

    立方积六○○○○○○○○

    立圆积三一四一五九二六五

    立方积一○○○○○○○○

    浑圆积○五二三五九八七七

    立方积六八七

    浑圆积三五五

    立方积二一

    浑圆积一一

    立方积二一

    浑圆积一　一

    浑圆面积四

    平圆面积一

    撱圆求积

    两径相乗数以十一乗之十四除之得所求

    解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积

    小径自乗再以大径乗之以十一乗二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也

    弧矢求径及离径半径

    置?折半自乗以矢除之得所求

    解曰半?股也矢?句较也余径?句和也股之自乗积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得余径余径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积【旧法以矢?相并得弧背径一围三之义也疎甚不可法】

    置弧背以离径并矢【即半径】乗之别置?以离径乗之两数相减余折半得所求

    解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线防于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乗背折半得积也又杂线形内除弧矢形余一三角形以?为濶以离径为高高乘濶折半得积以减杂线形积则所余者弧矢积矣故以半径乗背离径乗?相减折半得积也

    求中率法

    以两率相乗得数平方开之得中率

    截方锥体求积法

    置上方自乗下方自乗上下方相乗三数并以高乗之以三除之得所求

    右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也【凡堑堵二之一方锥三之一】

    截圆锥体求积法

    置上径自乗下径自乗上下径相乗三数并以高乗之再十一乗四十二除得所求【元当用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合两次除为一次除也】

    截直鋭体求积

    倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之两数并以高乗之以六除之得所求

    右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也

    截撱圆鋭体求积

    倍面大径加底大径以面小径乗之又倍底大径加面大径以底小径乗之两数并以高乗之再以十一乗八十四除得所求【此以六因十四得八十四也】

    庄氏算学卷七