第五章 数学与形而上学家

    十九世纪引以为自豪的是汽力的发明及进化论的创立，但它获得其名声的一种更合法的权力也许来自纯数学的发现。像绝大多数其他科学一样，这门科学在诞生之前就经受了洗礼；而且我们因而发现，十九世纪之前的作者间接提到了他们所谓的纯数学。但是，假如问他们这门学科是什么，他们只能说它是由算术、代数及几何等等构成的。至于这些分支学科所共同拥有的东西，以及它们同应用数学的区别，我们的祖先一无所知。

    纯数学是由布尔在一部被他称为《思维法则》（1854）的著作中所展示的。这部著作处处断言它不是数学；而事实上，布尔太谦虚了，以至于不能认为他的书是人类曾经写下的第一部数学书。他也错误地认为他在处理思维法则：人们实际上是如何思考的这个问题与他完全无关，而且假如他的书真的包含思维法则，那么以前未曾有人以这样的方式思考就是一件奇怪的事。他的书事实上说的是形式逻辑，而这就是数学。

    纯数学完全是由一些断言组成的。这些断言的大意是，假如如此这般的一个命题对于任一事物为真，那么如此这般的另一个命题对于那个事物也为真。不必讨论第一个命题是否确实为真，也不必提及我们假定对于其为真的那个事物是什么。这两个关键点都属于应用数学。在纯数学中，我们是从某些推论规则出发的；通过这些规则，我们就能推断，假如一个命题为真，那么就有另外某个命题也为真。这些推论规则构成形式逻辑原理的主要部分。那么，我们以任意一个看似有趣的假设为例，并推导一下它的结果。如果我们的假设是关于任一事物的，而非关于一个或多个其他特殊事物的，那么我们的推论就构成了数学。因而，数学可以被定义为我们绝不知道我们在其中谈论什么且亦不知道所谈之物是否为真的科目。我希望，已对数学开端感到困惑的人将在这个定义中找到安慰，并可能同意这个定义是准确的。

    由于现代数学的主要成就之一就在于发现了数学实际上是什么，在这个问题上多说几句也许不是不合适的。通常，在任何一个数学分支（比如几何学）中，我们都是从一定数量的原始概念及一定数量的原始命题或公理开始的；原始概念被假定是不可定义的，而原始命题或公理被假定是不可证明的。现在，实际情况是，尽管在应用数学的每一个分支中都有一些不可定义和不可证明的东西，但在纯数学中，除了属于普通逻辑的那些以外，是不存在这样的东西的。一般说来，逻辑的特点就在于，它的命题能被放入一种形式的东西中，而且在那种形式中，这些命题适用于任意一个事物。一切纯数学————算术、分析及几何————都是通过原始逻辑概念的组合而建立起来的，而它们的命题是从诸如三段论及其他推论规则这样的一般逻辑公理中推论出来的。而且，这不再是一种梦想或者一种渴望。恰恰相反，在数学领域较大而又较困难的那一部分，此项工作已经完成了；在余下的几个问题上，并不存在任何特殊的困难，而且人们现在正快速地从事着这项工作。关于这样的推论是否可能，哲学家们已争论了许多世纪，而数学家们则坐了下来，并做出了推论。现在，对于哲学家来说，除了体面地承认此种推论，并无剩下的事情可做。

    因而，形式逻辑最终表明自己就是数学。众所周知，这门学科是由亚里士多德所创立的，并成了中世纪的首要学科（除了神学以外）。但是，亚里士多德绝未超出三段论，并且经院学者们绝未超出亚里士多德；而三段论只是形式逻辑的一个很小的部分。如果需要某种证据来证明我们超出了中世纪的神学家，那么我们就可以在这里找到。在整个中世纪，几乎所有最优秀的英才人物都献身于形式逻辑，而在十九世纪，世界思想中仅有极微小的一部分涉入了这门学科。不过，自1850年以来，人们在每一个十年期间为发展这门学科而做的事情，都比从亚里士多德到莱布尼茨的整个这段时间内所做的事情多。人们已经发现如何使推理像在代数中那样符号化，以便使推论通过数学规则而得以完成。除了三段论以外，人们还发现许多规则；而且一个被称为相干逻辑注25的新的逻辑学分支已经创立了，并被用来处理旧逻辑所完全无能为力的一些问题，尽管那些问题构成了数学的主要内容。

    在讨论数学基础时让外行的头脑认识到符号体系的重要性是不容易的，而且所作的解释也许会以一种异乎寻常的方式显现为一种似非而是的东西。实际情况是，因为符号体系使事情变得复杂艰涩了，所以它是有用的。（就数学的高级部分而言，这种情况并不存在；它只是就数学的开端部分而言的。）我们希望知道的是，我们能从什么推论出什么。现在，在开端处，一切都是不证自明的；而且很难看出一个不证自明的命题是否是从另外一个命题推论出来的。显而易见的东西总是与正确的东西为敌。因此，我们发明了某种新的复杂艰涩的符号体系；在这个体系中，任何东西都不是显而易见的。然后，我们针对符号制定一些运算规则，从而整个事情就成为一种机械性的东西了。通过这种方式，我们就发现什么东西必须被当作前提，以及什么东西能被证明或定义。例如，我们已表明，整个算术及代数需要三个不可定义的概念及五个不可证明的命题；但是，如果没有一个符号体系，我们就很难看出这一点。二加二等于四是非常显而易见的，以至于我们几乎不能让自己充分怀疑它能否被证明；在别的例子中，假如有一些不证自明的东西需要证明的话，情况也是如此。

    但是，对于不了解情况的人来说，证明不证自明的命题可能多少是一件无意义的工作。对此，我们可以答复说，这样的情况，即一个显而易见的命题是从另一个显而易见的命题中推论出来的，经常绝不是不证自明的；因此，当我们通过一种不明显的方法证明明显的东西时，我们确实是在揭示一些新的真理。但是，一种更有趣的答复是，由于人们既已设法证明显而易见的命题，所以他们就发现许多这样的命题是错误的。不证自明时常只是一堆鬼火；如果让它作为我们的向导，它一定会让我们迷路。例如，一个整体总是比其一个部分拥有更多的项，或者，一个数加上一之后就会变大，这些都再明显不过了。但我们现在知道，这些命题通常是错误的。绝大多数的数是无穷的，而且假如一个数是无穷的，那么只要你愿意，你可以为之加上诸多的一，却又丝毫不会对它产生影响。证明的优点之一就在于它向被证明的结果注入了某种怀疑，而且当显而易见的东西可以在一些情况下得到证明而在另外一些情况下又无法得到证明时，设想它在另外那些情况下是错误的就成为可能了。

    在当代人中，伟大的形式推理技艺大师是一位意大利人，即都灵大学的皮亚诺（Peano）教授注26。他已把大部分的数学还原成了严格的符号形式，而且在这个形式中根本不出现语词；另外，他和他的追随者还将及时把整个数学还原出来。相比于绝大多数读者的期待，通常的数学书中的文字无疑是很少的；而且，极少有像“因此”、“让我们假定”、“考虑”或“由此得出”这样的短语出现。然而，所有这些都是一种让步，并且它们都已被皮亚诺教授一扫而光。例如，假如我们希望学习整个算术、代数、微积分以及事实上通常被称作纯数学的所有东西（除了几何学），我们必须从一部包含三个词的词典开始。一个符号代表零，另一个代表数，再一个代表后继。假如你希望成为一名算术家，那么你就有必要知道这些概念的意义是什么。但是，在为三个概念创立了各种符号之后，在算术的整个发展过程中我们所需要的并不是另一个词。所有后来的符号都是用先前的符号以及这三个概念加以解释的。甚至连这三个概念也可以用关系和类的概念加以解释；但是，这需要关系逻辑，而皮亚诺对此绝未论及。必须承认，数学家所须知道且由之出发的东西是不多的。所有纯数学（包括几何学）的所有概念都由之复合而成的概念至多有十来个。在一派才华非常出众的年轻的意大利追随者的帮助下，皮亚诺教授已经表明这一点是如何能做得到的；而且，对于他已经发明的这种方法，尽管我们有能力在很大程度上推进得比他更深入，但先驱者的荣誉一定属于他。

    两百年以前，莱布尼茨就预见了皮亚诺所完成的这门科学，并尝试着去创立它。因为尊重亚里士多德的权威，他未能取得成功；他不能相信亚里士多德犯有明确的形式上的谬误。但是，不顾一切有优越感的人在对待其方案时所表现出的那种居高临下式的轻蔑态度，他希望创立的这门学科现在诞生了。从他所称的这种“普遍文字”中，他希望找到关于所有问题的一个解决方案，并为所有争论找到一个结果。他说：“假如争论出现了，在两个哲学家之间，就如在两个会计之间一样，没有必要争论。对他们来说，带着手中的笔，坐到桌旁，并相互向对方说‘我们来计算一下吧’（如果他们愿意，还可以请一个朋友作为见证人），这就足够了。”这种乐观现在看起来多少有点过分了：依然有一些问题，关于它们的解决方案是可疑的，而且依然有一些争论是计算所无法解决的。但是，在由先前有争议的东西所构成的整个一大片领域中，莱布尼茨的梦想已变成并不夸张的事实。过去，整个数学哲学至少像哲学的任何其他部分一样充满怀疑；而现在，在这个领域中，顺序和确定性已取代先前盛行的混乱和犹豫。当然，哲学家尚未发现这个事实，并继续按先前的方式就这些问题进行写作。但至少在意大利，数学家们现在有能力以一种精确的、熟练的方式处理数学，而且通过这种方式，数学的确定性也延伸到了数学哲学。因此，在过去被列入重大的谜的问题中，有许多现在已绝不再容易招致怀疑或引起讨论了，例如无穷的性质，连续的性质和空间、时间与运动的性质就是这样。那些希望知道这些东西的性质的人只需阅读像皮亚诺或格奥尔格·康托尔这样的一些人的著作，他们将在那里发现关于所有这些一度曾是谜的东西的准确而又不可怀疑的解释。

    在这个变幻莫测的世界中，再没有什么比身后的名声更变幻莫测了。后世对其缺乏判断的最著名的例子之一，就是埃利亚的芝诺。我们可以把这个人看作无穷哲学的创始人；在柏拉图的《巴门尼德斯篇》中，他相对苏格拉底处于教育者这样的特权地位。他提出了四个论证，每一个都是无限精妙而又无限深刻的；这些论证旨在证明运动是不可能的，阿基里斯注27绝不可能追上乌龟，以及飞矢确实是静止的。在遭遇亚里士多德以及从那时起到今天的每一个后来的哲学家的反驳后，这些论证被一位德国教授恢复了。这位教授使这些论证成为一种数学复兴的基础，而他可能做梦也没有想到自己和芝诺之间会有某种联系。通过严格从数学中排除对无穷小量（infinitesimals）注28的使用，魏尔施特拉斯注29（Weierstrass）最终表明，我们生活在一个不变化的世界中，而且飞矢真的处于静止中。芝诺的唯一错误就在于他作出了如下的推断（假如他确实这样做了）：因为不存在像变化的状态这样的事物，所以世界在任一时刻的状态都与其在任一其他时刻的状态相同。这绝不是一个推论的结果，而且在这方面，德国数学家比善于创造的希腊人更具建设性。魏尔施特拉斯把自己的观点体现于数学中，而在这门科学中，熟悉真理即可消除常识的粗俗偏见。通过这样的做法，他已能够为芝诺悖论赋予平凡言谈的体面外表；假如这个结果对于热爱理性的人来说不如芝诺的大胆挑战令人愉快，那么它至少更适合于抚慰学究式的人类。

    事实上，芝诺关心三个问题。在这三个问题中，每一个都是通过运动而呈现出来的，但每一个都比运动更抽象，而且能以纯算术的方式加以处理。这三个问题分别是无穷小量问题、无穷问题及连续性问题。清晰地陈述所涉及的困难，就相当于完成了哲学家的任务中兴许最为困难的那个部分。这项工作是由芝诺完成的。从芝诺到我们自己的时代，每一代中最优秀的才智非凡者轮番攻击这些问题，但一般说来却毫无所获。然而，在我们自己的时代，魏尔施特拉斯、戴德金及康托尔三人不仅改进了这三个问题，而且完全解决了它们。对于那些熟悉数学的人，这些解决方案非常清晰，以至于不再会有丝毫的疑点或难点。这项成就很可能是我们这个时代必须引以为自豪的最伟大成就，而且我不知道还有哪个时代（也许除了希腊黄金时期）能更加令人信服地证明自己贡献了其伟大人物的卓越才智。在这三个问题中，无穷小量问题是由魏尔施特拉斯解决的，其他两个问题是由戴德金着手解决并由康托尔最终完成的。

    无穷小量先前在数学中起到了一种重要的作用。它是由希腊人引进的；希腊人认为，一个圆与一个具有许许多多个边且边长很小的等边多边形之间的差别是无穷小的。它的重要性在逐渐增长；最终，当莱布尼茨发明微积分时，它似乎成了所有高等数学的基本概念。在其《腓特烈大帝史》中，卡莱尔向人们透露莱布尼茨以前常常是如何向普鲁士女王索菲娅·夏洛特讲述无穷小问题的，以及女王又会如何回敬他说她在那个问题上是不需要接受教育的————文武百官的行为已经使她完全熟悉了这个问题。但是，哲学家们和数学家们因为多半不太熟悉王宫生活，所以继续讨论这个话题，尽管没有取得任何进展。微积分需要连续性，而且人们假定连续性需要无穷小；但是没有人能够揭示无穷小可能是什么。它显然完全不是零，因为我们看到，数目足够多的无穷小量加起来就组成了一个有限的整体。但是，没有人能够指出任何既非零又非有穷数的极小的数。因而，这就出现了僵局。但最后，魏尔施特拉斯发现，无穷小量是根本不需要的，而且一切事情都可以在没有它的情况下得以实现。因而，无需再假定存在这样的一种东西。现在，数学家们因此比莱布尼茨更有尊严：他们不再谈论无穷小，而是谈论无穷大。不幸的是，无穷大这个题目，无论多么适合于君主，但对他们所产生的吸引力似乎甚至比不上无穷小对莱布尼茨为之讲述的君主们所曾产生的吸引力。

    对无穷小量的排除产生了各种各样奇特的后果，一个人必须逐步熟悉这些后果。例如，不存在像下一时刻这样的事物。一个时刻与下一时刻之间的间隔必须是无穷小的，因为假如我们取彼此间具有一种有限间隔的两个时刻，那么在这个间隔内总会有其他一些时刻。因而，假如不存在无穷小量，那么没有哪两个时刻是完全连续的，而是在任何两个时刻之间总存在其他的时刻。因此，任何两个时刻之间都一定存在无穷多的时刻；因为假如真的只有有限多的时刻，一个人就会最接近于这两个时刻中的第一个，并因此紧邻它。这可以被认为是一种困难；但事实上，正是在这里，无穷哲学派上了用场，并使得一切都变得直截了当。

    空间方面也发生了同样的情况。假如把任意一片物质一切为二，然后再把每一部分对半分，并一直这样分下去，那么切分所得到的碎片将变得越来越小，并且从理论上说，我们可以让这些碎片小到我们想要的地步。不管它们可以小到什么地步，我们还能对它们进行切分并使其变得更小。但是，不管它们可以小到什么地步，它们将总是拥有某种有限的大小。我们绝不能以这种方式达到无穷小量，而且任何有限次的切分都不会让我们达到点。不过，点是存在的，只是我们将不会通过连续的切分而达到这些点。在这里，无穷哲学又一次向我们表明这是如何可能的，以及点为什么不是无穷小的长度。

    在运动和变化问题上，我们获得一些同样奇怪的结果。人们过去常常认为，当一个事物变化时，它一定处在一种变化的状态中，并且当一个事物移动时，它就处在一种运动的状态中。现在，我们知道这种看法是错误的。当一个物体移动时，我们最多能说，它在一个时间处于一个地方，而在另一个时间处于另一个地方。我们一定不要说，在下一个瞬间它将在附近的一个地方，因为不存在下一个瞬间。哲学家们常常告诉我们，当一个物体处于运动中时，它是在瞬间之内改变其位置的。对于这种观点，芝诺在很早以前就提出了这样的致命反驳，即每一个物体都总是在其所在的地方。但是，一种如此简明扼要的反驳并不是哲学家们通常看重的那种，而且直到我们今天这个时代，他们还在继续重复这些同样的激起这位爱利人破坏性热情的说法。只是在最近，我们才有可能根据芝诺从前的说法并以同哲学家的悖论相反的方式来详细地解释运动。我们现在终于可以任性地持有这种令人感到舒适的信念，即一个运动的物体在其所在的地方恰恰和一个静止的物体一样真实。运动仅仅在于以下这一事实：物体有时在一个地方，有时在另一个地方，而在中间的时间它们处于中间的地方。只有那些在这个问题上奋力穿过哲学思考泥潭的人，才能认识到这种简单而又明了的平常事实在何等程度上把我们从古老的偏见中解放了出来。

    如我们刚才已看到的那样，无穷小量哲学主要是破坏性的。人们过去常常相信它，而现在他们已看出自己的错误。另一方面，无穷哲学完全是建设性的。人们以前假定，无穷数以及通常的数学的无穷是自相矛盾的。但是，由于明显存在诸多无穷，例如数的数目，关于无穷的矛盾似乎就不可避免了，而且哲学似乎已走进了一条“死胡同”。这个困难导致了康德的二律背反，而且因此或多或少间接导致了黑格尔辩证法中的许多东西。迄今为止，很少有几个哲学家意识到这样的事实，即在无穷概念问题上一切古老而又可敬的矛盾都已一劳永逸地解决了；而几乎所有当前的哲学都因为这个事实而感到不安。造成这个事实的方法是极有趣且极富启发性的。首先，尽管从希腊思想的开端直到今天人们都在无穷问题上夸夸其谈，但未曾有人想到过问什么是无穷。假如任请一个哲学家给出一个关于无穷的定义，那么他可能会说出某种无法理解的拉拉杂杂的东西，但他确实不能... -->>
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