第八章 无序定律

一种扑克牌组合被称为“满堂红”［有三张相同及另两张相同的一手牌］（full hand，亦作full house），它更为罕见，因此也更有价值。“满堂红”由一个“对”和一个“三条”所组成（即有两张牌为两种花色的同一点数，另外三张牌为三种花色的另一点数，比如图86所示的两个5和三个Q）。

    图86　满堂红

    要想得到满堂红，头两张牌是什么无关紧要，但摸到这两张牌之后，后三张牌当中必须有两张与头两张之一的点数相同，第三张与另一张的点数相同。由于还有六张牌可以符合点数（如果已经摸到一张5和一张Q，那就还有三张5和三张Q），所以第三张牌符合要求的机会是。由于在剩下的49张牌中只有5张符合要求的牌，所以第四张牌也符合要求的机会是。第五张也符合要求的机会是。因此，得到满堂红的总概率为：

    ，

    这大约是得到同花概率的一半。

    以类似的方法，还能计算出“顺子”（即点数连续的几张牌）等其他组合的概率，以及因“百搭”的存在和换牌的可能性所导致的概率变化。

    通过这种计算我们发现，扑克牌中使用的级别次序的确对应于数学概率的次序。我不知道这种安排是以前的某位数学家提出来的，还是全世界的数百万赌徒冒着丧失财富的危险，在经常光顾的赌窟里纯粹由经验确立的。如果是后者，我们得承认，这是一个关于复杂事件相对概率的极好的统计研究课题！

    概率计算的另一个有趣例子是“生日重合”问题，它会引出非常出乎意料的回答。回想一下，你是否曾在同一天受邀参加两个不同的生日宴会。你也许会说，收到两份邀请的机会很小，因为你大约只有24位朋友可能邀请你，而他们的生日有一年的365天可以选择呢！既然有那么多可能的日期可供选择，你的24位朋友中有两人同日吃蛋糕的可能性一定非常小吧。

    然而，虽然听起来似乎令人难以置信，但你的判断绝对是错误的。事实上，在这24个人当中，有一对甚至几对人生日重合的概率是相当高的，出现重合的概率其实比不出现重合的概率还要大。

    要想证明这个事实，你可以列出一张包含24人左右的生日表，或者干脆从《美国名人录》之类的工具书上随机选出24个人，对他们的生日进行比较。我们还可以运用在掷硬币和扑克牌的问题中已经熟悉的简单的概率计算规则来确定这些概率。

    我们先来计算24个人生日各不重合的概率。先看第一个人的生日是哪天，当然，这可以是一年当中的任何一天。那么，第二个人的生日与第一个人不相重合的概率有多大呢？由于这个（第二个）人可以出生在一年当中的任何一天，所以他的生日与第一个人重合的概率为，不相重合的概率为。同样，第三个人的生日与前两个人都不重合的概率为，因为一年中有两天已被排除。接下来的人的生日与前面任何一个人都不重合的概率依次为，，等，最后一个人的概率为即。

    由于我们想知道这些生日当中存在一次重合的概率，我们须将以上所有这些分数相乘，这样便得到了所有这些人的生日都不重合的概率：

    。

    如果使用某些高等数学方法，几分钟便可算得乘积。但如果不懂这些方法，就只能辛苦地将它直接乘出来了，62不过这也费不了太多时间。结果约为0.46，这表明生日都不重合的概率稍小于一半。换句话说，在你的这24位朋友当中，任何两人生日都不重合的概率为46%，有两人或更多人生日重合的概率为54%。于是，如果你有25个或更多个朋友，却从未在同一天受邀参加两场生日宴会，那么你就可以相当确定地断言，要么你的大多数朋友并未组织生日宴会，要么他们根本没有邀请你去！

    生日重合问题是一个很好的例子，说明在判断复杂事件的概率时，常识判断可能是完全错误的。我曾问过很多人这个问题，包括不少著名的科学家，但除一个人以外，所有人都下了从2:1到15:1的赌注打赌说，这种重合不会发生。倘若那位老兄接受了所有这些赌注，他现在已经发财了！

    需要反复强调的是，即使我们能按照既定的规则将不同事件的概率计算出来，并且挑出其中最有可能发生的事件，我们也根本不确定这就是即将发生的事情。除非我们检验数千次、数百万次甚至数十亿次，否则就只能推测说“可能”会怎样，而不是“一定”会怎样。如果只作少数几次检验，概率定律就不那么管用了。我们来看一个用统计分析来破译一小段密码的例子。比如爱伦·坡（Edgar Allan Poe）在其著名小说《金甲虫》（The Gold Bug）中描写了一位勒格让（Legrand）先生，他在南卡罗来纳荒凉的海滩上散步时捡到了一张半埋入湿沙的羊皮纸。在勒格让先生的海滨小屋里用火烘烤之后，这张羊皮纸上显示出了一些神秘的墨水笔迹，这些笔迹在冷的时候看不见，加热后则转为红色，变得清晰可读。其中有一个头盖骨，暗示这份文件是一个海盗写的；还有一个山羊头，证明这位海盗正是著名的基德（Kidd）63船长；还有几行印刷符号，似乎在暗示一处藏宝地点（见图87）。

    图87　基德船长的讯息

    让我们按照爱伦·坡的说法，相信17世纪的海盗熟悉分号、引号等排印符号以及、、¶等符号。

    勒格让先生急于得到这笔钱，遂绞尽脑汁想破译这段神秘的密码。最后，他基于不同英文字母出现的相对频率进行破译。其方法的根据在于，任何一段英文，无论是莎士比亚的一首十四行诗，还是华莱士（Edgar Wallace）的一部侦探小说，如果数一数不同字母出现的次数，你会发现字母“e”出现得最为频繁，然后依次是：

    a，o，i，d，h，n，r，s，t，u，y，c，f，g，l，m，w，b，k，p，q，x，z。

    勒格让先生数了数基德船长密码中出现的不同符号，发现出现次数最多的是数字8。“啊哈，”他说，“这就是说，8最有可能代表字母e。”

    他说的不错。但这只是很有可能，而不是完全确定。事实上，如果这段密码写的是“You will find a lot of gold and coins in an iron box in woods two thousand yards south from an old hut on Bird island’s north tip”（在鸟岛北端旧棚屋南面两千码的树林中有一个铁盒子，里面有许多黄金和硬币），那么这其中就连一个“e”都没有！不过概率定律帮了勒格让先生的忙，他真的猜对了。

    第一步走对之后，勒格让先生自信满满，又以同样方式按照出现的概率次序将各个字母加以排列。下表按照使用的相对频率对基德船长讯息中的各个符号作了排列：

    表中第二栏是按照各个字母在英语中出现的相对频率排列的，因此有理由假设第一栏中的符号就代表同一行第二栏中的字母。但根据这种排列，基德船长讯息的开头就成了ngiiugynddrhaoefr…

    这根本没有意义！

    怎么回事呢？是不是这个诡计多端的老海盗使用了一些特殊的词，其中包含的字母所遵循的频率规则不同于英语常用词中字母出现的频率规则呢？根本不是。原因仅仅在于，这段讯息太短了，统计抽样检验尚不能很好地起作用，最大可能的字母分布尚未出现。倘若基德船长用这样一种复杂的方法把财宝藏起来，以至于密码指令占了好几页纸甚至一整本书，那么勒格让先生用概率规则解出这个谜的把握就会大得多。

    如果掷100次硬币，你会比较确信正面朝上的次数有50次左右；但若仅掷4次，正面朝上的次数则可能有3次或1次。一般来说，试验的次数越多，概率定律就越精确。

    由于这段密码中的字母数量不足，无法运用统计分析方法，勒格让先生只好根据不同英语单词的细微结构进行分析。首先，他依然假设出现频率最多的符号“8”代表e，因为他注意到，这段较短的讯息中多次出现“8 8”这个组合（5次）。大家知道，字母e在英语词中常常双写，比如在meet，fleet，speed，seen，been，agree等单词中。此外，如果“8”真的代表e，那么它应该会作为“the”这个词的一部分而经常出现。检查这段密码的文本就会发现，“； 4 8”这个组合在其中出现了7次，倘若真是如此，我们就必须断言，“；”代表t，“4”代表h。

    读者们可以去阅读爱伦·坡的这篇小说，寻找破译基德船长这段讯息的进一步细节。它的全文如下：“A good glass in the bishop’s hostel in the devil’s seat.Forty-one degrees and thirteen minutes northeast by north.Main branch seventh limb east side.Shoot from the eye of the death’s head,A beeline from the tree through the shot fifty feet out”（主教旅店的魔鬼座中有个好玻璃杯。北偏东41 度13 分。主干东侧的第七根树枝。从骷髅的眼睛处开一枪。沿开枪方向从那棵树直走50 英尺）。

    勒格让先生最后破译的不同字母的正确含义列在表中最后一栏。可以看到，它们与根据概率定律所推测的字母不甚相符。这当然是因为这段文本太短，概率定律没有什么机会发挥作用。但即使在这个小小的“统计样本”中，我们也能注意到各个字母有按照概率论要求的次序进行排列的趋势，如果这段文本中的字母数量大得多，这种趋势就会变成一条几乎牢不可破的规则。

    用大量试验来实际检验概率论的预测的例子似乎只有一个，那就是美国国旗与火柴这个著名问题。

    要想处理这个概率问题，你需要一面美国国旗，即它的一个部分由红白条所组成。如果没有旗子，可以拿一大张纸，在上面画几道等距的平行线。还需要一盒火柴————任何火柴都可以，只要短于红白条的宽度就可以。此外还需要希腊字母π，它对应于我们的英文字母“p”，也被用来表示圆的周长与直径之比。你也许知道，它在数值上等于3.1415926535…（我们还知道更多位数字，但无需继续写下去）。

    现在把旗子铺在桌子上，掷一根火柴到旗子上（图88）。它可能完全落在一条带子之内，也可能压在两条带子的边界上。这两种情况各有多大可能性呢？

    图88

    根据我们确定其他概率的程序，必须先数出对应于某种可能性的情况有多少。

    但火柴难道不是有无穷多种方式可以落在旗子上吗？怎么能数出所有可能性呢？

    让我们更仔细地考察一下这个问题。如图89所示，火柴落在条带上的位置可由火柴中心与最近的边界之间的距离以及火柴与条带方向所成的角度来刻画。图中给出了火柴落下的三个典型例子。为简单起见，假定火柴长度等于条带宽度，比如都是2英寸。如果火柴中心离边界很近，成的角又很大（如情况a），那么火柴将与边界相交。如果情况相反，角度很小（如情况b）或距离很大（如情况c），则火柴将全都落在一条带子的边界内。说得更精确些，如果半根火柴在竖直方向的投影大于条带的一半宽度，则火柴将与边界相交（如a），反之则不相交（如b）。这一陈述可以用图89下半部分的图形表示出来。横轴给出的是火柴落下后所成的角度（以弧度为单位），纵轴则是半根火柴在竖直方向的投影长度；在三角学中，这个长度被称为给定角度的正弦。显然，当角度为零时，正弦值也为零，因为这时火柴呈水平方向。当角度为π/2即直角时，64正弦值等于1，因为此时火柴呈竖直方向，与其投影重合。对于介于其间的角度，正弦值由我们所熟悉的正弦曲线给出。（图89只画出了完整曲线的四分之一，即从0到π/2。）

    图89

    构造这张示意图之后，估算火柴与边界相交或不相交的概率就很方便了。事实上，正如我们所看到的（再看图89上半部分的三个例子），如果火柴中心与边界的距离小于相应的投影，即小于这个角度的正弦值，火柴就会与条带的边界相交。这意味着，图中表示这个距离和角度的点位于正弦曲线以下。相反，当火柴完全落在条带边界以内时，将会给出正弦曲线以上的点。

    于是，按照我们计算概率的规则，相交概率与不相交概率之比将等于曲线下的面积与曲线上的面积之比；或者说，要想计算两个事件的概率，可以用与之相应的两块面积分别除以整个矩形的面积。可以用数学方法证明（参见第二章），图中正弦曲线下的面积恰好等于1。由于整个矩形的面积是×1=，所以我们发现，火柴（其长度等于条带的宽度）与边界相交的概率为。

    在这个最意想不到的场合，π出现了，18世纪的科学家布丰（George Louis Leclerc Buffon）最先注意到了这个有趣的事实，因此这个火柴和条带的问题也被称为布丰问题。

    勤勉的意大利数学家拉泽里尼（Lazzerini）实际做了一个实验。他掷了3408根火柴，发现共有2 169根与边界相交。用这个实验的精确记录去检验布丰公式，发现π的值可以用来代替，即3.141 592 9。直到小数点后第七位，它才与精确值有所不同！

    这当然是对概率定律之有效性的一个极为有趣的证明，但与投掷数千次硬币，用总投掷数除以正面朝上的数目来确定“2”相比，却也并非更有趣。在后一种情况下，你得到2.000 000…的误差一定会和拉泽里尼确定π值的误差一样小。

    四、“神秘”的熵

    从以上这些来自日常生活的概率计算的例子可以知道，如果涉及的数目很小，这种预测往往会令人失望；而当数目增多时，预测会变得越来越准。这就使概率定律特别适用于描述构成哪怕最小物质片段的几乎数不清的分子或原子。因此，对于六七个醉鬼每人走二十多步的情况，醉鬼走路的统计定律只能给出近似的结果；但如果运用于每秒钟经历数十亿次碰撞的数十亿个染料分子，统计定律却能导出最为严格的物理扩散定律。我们还可以说：在扩散过程中，试管中原先溶解于一半水中的染料会趋向于均匀分布在整个液体中，因为这种均匀分布比原先的分布有更大的可能性。

    同样道理，在你坐着读这本书的整个房间里均匀充满着空气。你从未想到房间里的这些空气会不经意地自行聚拢在某个角落，使你在椅子上感到窒息。不过，这件恐怖的事情在物理上并非完全不可能，而只是可能性极小罢了。

    为了澄清这一点，我们设想房间被一个假想的竖直平面分成两等分，此时这两部分中的空气分子最有可能是什么分布呢？当然，这个问题等同于前面讨论的投掷硬币的问题。任选一个分子，它处于房间左半边或右半边的机会是相等的，就像掷出的硬币正面朝上或反面朝上的机会相等一样。

    如果不考虑其他分子的位置，那么第二个、第三个以及所有其他分子处于房间左半边或右半边的机会也是相等的。65因此，分子在两半房间中的分布问题就如同大量投掷的硬币的正反面分布问题，我们已经在图84中看到，一半对一半的分布是最有可能的。从图中我们还可以看到，随着投掷次数的增多（我们这里是气体分子的数目变大），50%的可能性变得越来越大，当数目非常大时，这种可能性几乎变成了确定性。由于普通大小的房间里约有1027个分子，66所以它们同时聚在房间左半边或右半边的概率为

    ，

    即1比103×1026。

    另一方面，由于空气分子以每秒0.5公里左右的速度运动，从房间一端移到另一端只需0.01秒，所以它们在房间里的分布每秒钟将会刷新100次。因此要等上10299 999 999 999 999 999 999 999 998秒，才能得到完全处于房间某一侧的分布。要知道，迄今为止宇宙的年龄也只有1017秒！所以还是安安静静读你的书吧，不必担心突然被窒息。

    再举一个例子。考虑桌上的一杯水。我们知道，水分子做着无规则的热运动，正以极高的速度沿四面八方运动，但因分子之间内聚力的作用而不致逸出。

    既然每一个分子的运动方向都完全受概率定律的支配，我们可以考虑这样一种可能性：在某一时刻，杯子上半部的所有水分子都向上运动，而杯子下半部的水分子都向下运动。67在这种情况下，沿着将两组水分子分开的水平面起作用的内聚力将无法抵抗这种“统一的分离欲望”，我们会看到一个不同寻常的物理现象：半杯水将以子弹的速度自动冲向天花板！

    另一种可能性是，水分子热运动的总能量偶然集中在杯子的上半部分，此时杯底附近的水突然结冰，上部的水却开始剧烈沸腾。那么，你为何从未见过这样的事情发生呢？这并非因为它们绝对不可能发生，而是因为极不可能发生。事实上，如果你试着计算一下原本沿各个方向随机分布的分子偶然获得上述分布的概率，就会得到一个与空气分子全都聚集在一个角落的概率同样小的数字。同样，一些分子因相互碰撞而失去大部分动能、另一些分子得到这部分动能的概率也小到可以忽略不计。我们通常看到的速度分布同样是具有最大可能性的速度分布。

    让我们从分子的位置或速度未处于最大可能安排的一个状态开始，比如从屋子一角释放出某种气体，或者给冷水倒些热水，此时会发生一系列物理变化，使该系统从这种不大可能的状态达到极为可能的状态。气体将会扩散到整个房间，直至达到均匀状态，上部的水的热量将流向下部的水，直至所有的水都达到相等的温度。于是我们可以说：一切依赖于分子无规则运动的物理过程都会朝着概率增大的方向发展，而当达到平衡状态即不再有什么事情发生时，概率达到最大。正如我们在屋内空气分布的例子中所看到的，各种分子分布的概率往往是一些不方便表达的极小数字（比如空气聚集在半间屋内的概率是10-3×1026），因此作为替代，我们常常取其对数。这个量被称为熵，它在所有与物质无规则热运动有关的问题中都起着显著作用。现在可将前面关于物理过程中概率变化的叙述改写成：物理系统中任何自发变化都会朝着熵增加的方向发展，最后的平衡态则对应于熵的最大可能值。

    这便是著名的熵定律，也被称为热力学第二定律（热力学第一定律是能量守恒定律）。你瞧，这里面并没有什么可怕的东西。

    熵定律又可以被称为无序加剧定律，因为从上述所有例子中可以看出，当分子的位置和速度完全随机地分布，以至于任何为其运动引入某种秩序的尝试都会导致熵的减小时，熵便达到了极大值。通过研究把热变成机械运动这个问题，可以得到对熵定律的另一个更为实际的表述。大家还记得，热其实就是分子无规则的机械运动，因此不难理解，把给定物体的热能完全转变成宏观运动的机械能，等于强迫该物体的所有分子都朝同一个方向运动。但在杯子里的一半水自发冲向天花板的例子中我们已经看到，这种现象太不可能发生了，以致可以认为根本不会发生。因此，虽然机械运动的能量可以完全转化成热（例如通过摩擦），但热能却永远不会完全转化成机械能。这便排除了所谓“第二类永动机”68————即在正常温度下吸收物体热量，从而降低物体温度，并用由此获得的能量来做功————的可能性。例如，我们不可能建造一种不是通过烧煤，而是通过从海水中吸取热量而在锅炉中产生蒸汽的轮船，它先是把海水吸入机舱，然后再把吸收掉热量的冰块扔回海里。

    那么，普通的蒸汽机是如何在不违反熵定律的情况下把热变成运动的呢？这是因为在蒸汽机中，燃料燃烧所释放的热只有一部分被实际转化成机械能，其余大部分热要么以废气的形式被排入大气，要么被专门的冷却设备所吸收。在这种情况下，该系统有两种相反的熵变化：（1）熵减小，此时一部分热转化为活塞的机械能；（2）熵增大，此时另一部分热从锅炉进入冷却设备。熵定律只要求系统的总熵增加，因此只要让第二个因素大于第一个就行了。为了更好地理解这一点，我们可以考虑这样一个例子：在6英尺高的架子上放着一个5磅重的物体，根据能量守恒定律，此物体不可能在没有外界帮助的情况下自动朝天花板上升。但另一方面，它却可以让自身的一部分朝地板下落，并用由此释放的能量使另一个部分上升。

    同样，我们也可以使系统中一个部分的熵减小，只要另一个部分中有相应的熵增大就可以了。换句话说，对于一些正在作无序运动的分子来说，如果我们不在意其中一部分运动会变得更加无序，我们是能使另一部分变得更加有序的。和各种类型的热机一样，在许多实际情况中，我们的确是不在意的。

    五、统计涨落

    通过前一节的讨论，大家想必已经很清楚，熵定律及其一切推论都完全建立在这样一个事实的基础上：在宏观物理学中，我们讨论的总是极大数量的分子，因此任何基于概率考虑的预测会变成近乎绝对确定的结果。如果我们考虑的是极少量的物质，这种预测就不那么确定了。

    例如，如果我们考虑的不是前面例子中充满房间的空气，而是体积小得多的气体，比如边长为百分之一微米69的正方体，那么情况看起来就完全不同了。事实上，由于该立方体的体积为10-18立方厘米，它将只包含个分子。所有这些分子聚集在一半体积中的概率是=10-10。

    另一方面，由于该立方体的体积要小得多，各个分子将以每秒钟5×1010次的速度进行改组（速度为每秒0.5公里，距离只有10-6厘米），因此，半个正方体大约每秒钟都会空出一次。不用说，某些分子集中在这个小立方体的某一端的情况会更经常地发生。例如，20个分子在一端、10个分子在另一端（即有一端多出10个分子）的情况会以

    即每秒5000万次的频率发生。

    因此在小尺度下，空气分子的分布远非均匀。如果放大率足够大，我们应当会看到，分子在气体的各个点瞬间有小的集中，然后再次散开，又在其他点出现类似的集中。这种效应被称为密度涨落，它在许多物理现象中发挥着重要作用。例如，当太阳光穿透大气层时，大气层的非均匀性会使太阳光谱中的蓝光发生散射，从而使天空染上我们所熟悉的蓝色，太阳也因此看起来比实际更红一些。这种变红的效应在日落时尤为显著，因为此时太阳光要穿过更厚的大气层。如果没有这些密度涨落，天空就永远是漆黑一片，我们白天也能看到星辰。

    普通的液体中也会发生密度涨落和压力涨落，尽管没有那么显著。因此，在描述布朗运动的成因时，我们还可以说，悬浮在水中的微粒之所以被推来推去，是因为作用于微粒各个侧面的压力在迅速发生变化。当液体越来越接近沸点时，密度涨落也变得越来越显著，从而使液体略带乳白色。

    我们现在要问，对于统计涨落占主导作用的这些小物体，熵定律是否还适用呢？一个终生都被分子推来推去的细菌当然会对热不能变成机械运动的说法嗤之以鼻！但这里更准确的说法是，熵定律失去了它的意义，而不是遭到了违反。事实上，这个定律说的是，不能将分子运动完全转化成包含巨大数量分子的大物体的运动。对于一个比分子本身大不了多少的细菌来说，热运动与机械运动的区别实际上已经消失，它被周围的分子推来推去，就像我们在骚动的人群中被不停地推搡一样。如果我们是细菌，那么只要把我们系在一个飞轮上，就能制造出一台第二类永动机，但那样一来，我们就无法利用它了。因此，没有理由为我们不是细菌而感到遗憾！

    然而，生命体似乎违反了熵增定律。事实上，植物生长时（从空气中）吸收简单的二氧化碳分子，（从土壤中）吸收水，把它们合成为植物所由以构成的复杂有机分子。从简单分子转化为复杂分子意味着熵的减小。事实上，木材燃烧，木材分子分解为二氧化碳和水蒸气，这类正常过程的确是熵增过程。植物真的违反熵增定律吗？难道真像过去的一些哲学家所主张的那样，植物内部有某种神秘的活力在助其生长吗？

    对这个问题的分析表明，矛盾并不存在，因为除了二氧化碳、水和某些盐类，植物的生长还需要充足的阳光。除了储存在植物体内、植物燃烧时又被释放出去的能量，太阳光还携带着所谓的“负熵”（低熵）。当太阳光被绿叶吸收时，负熵就消失了。因此，植物绿叶中发生的光合作用涉及两个相关的过程：（1）将太阳光的光能转化为复杂有机分子的化学能；（2）用太阳光的低熵降低植物的熵，使简单分子逐步形成复杂分子。用“有序对无序”的术语来说就是：太阳的辐射到达地球并且被绿叶吸收时，其内部秩序被夺走，这种秩序被传递给分子，使之能够逐步形成更复杂和更有秩序的分子。植物由无机物形成身体，从太阳光得到负熵（秩序），而动物则要靠吃植物（或其他动物）而得到负熵，可以说是负熵的间接用户。