命题XI 定理VIII
如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比,部分地按照速度的二次比,且只由其固有的力在类似的介质中运动;而且时间被取作一算术级数,与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。
以中心C,直角渐近线CADd和CH画双曲线BEe,且AB,DE,de平行于渐近线CH。在渐近线CD上点A,G被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积ABED表示;我说,速度能用长度DF表示,它的倒数GD与给定的CG一起构成按几何级数增长的长度CD。
因为设小面积DEed是给定的极小的时间增量,则Dd与DE成反比且因此与CD成正比。所以1/(GD)的减量,它(由本卷引理II)是(Dd)/(GDq ),如同(CD)/(GDq )或者(CG+GD)/(GDq ),亦即,如同1/(GD)+(CG)/(GDq )。所以,当时间ABED由给定的小部分EDed相加均匀地增长,1/(GD)按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力,这就是(由假设)如同两个量的和,其中的一个如同速度,另一个如同速度的平方;又1/(GD)的减量如同量1/(GD)及量(CG)/(GDq )的和,其中前者是1/(GD)自己,且后者(CG)/(GDq )如同1/(GD)q :因此1/(GD),由于减量的相似(analogus),如同速度。且如果量GD,它与1/(GD)成反比,增加给定的量CG;它们的和CD,在时间ABED均匀地增加时,按几何级数增大。此即所证 。
系理1 所以,如果点A和G给定,时间由双曲线的面积ABED表示,则速度能用GD的倒数1/(GD)表示。
系理2 且取GA比GD如同在开始时速度的倒数比在任意时间ABED结束时速度的倒数,点G将被发现。当它被发现,由其他任意给定的时间能发现速度。
命题XII 定理IX
对同样的假设,我说,如果[物体]所画出的空间被取作一算术级数,速度增加一给定的量成为一几何级数。
设在渐近线CD上点R被给定,且竖立垂线RS,它交双曲线于S,画出的空间用双曲线的面积RSED表示;又速度如同长度GD,它与给定的CG一起构成的长度按照几何级数减小,在此期间空间RSED按照算术级数增大。
因为,由于空间的减量EDde被给定,短线Dd,它是GD自身的减量,与ED成反比,且因此与CD成正比,这就是,如同同一个GD和给定的长度CG的和。但是速度的减量,在与它成反比的时间,且在此期间给定的空间的小部分DdeE被画出,如同阻力和时间的联合,亦即,与两个量的和成正比,其中一个如同速度,另一个如同速度的平方,且与速度成反比;且因此与两个量的和成正比,其中一个被给定,另一个如同速度。所以速度的减量以及直线GD的减量,如同一个给定量和一个减小的量的联合;且因为减量相似,减小的量总相似;即是速度和[直]线GD相似。此即所证 。
系理1 如果速度由长度GD表示,物体画出的空间如同双曲线的面积DESR。
系理2 且如果任意假设点R,通过取GR比GD,如同开始时的速度比画出任意的空间RSED后的速度,发现点G。发现点G后,由给定的速度空间被给定,且反之亦然。
系理3 因此,由于(命题XI)由给定的时间速度被给定,又由本命题由给定的速度空间被给定;从给定的时间,空间将被给定。且反之亦然。
命题XIII 定理X
假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降;并且它所受的阻碍部分地按照速度之比,部分地按照速度的二次比:我说,如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线,又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段;则时间如同扇形的面积,它被自中心向截段的端点所引的直线割下;且反之亦然。
情形1 首先我们假设物体上升,且以中心D和任意的半直径DB画四分之一圆BETF,又过半直径DB的端点作无穷的[直线]BAP平行于半直径DF。在其上点A被给定,且截段AP被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方;总的阻力如同APquad. +2BAP。连结DA,DP截圆于E和T,且重力由DAquad. 表示,这样重力比阻力如同DAq 比APq +2BAP:则上升的总时间... -->>
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