第三章 非欧几何学

    每一个结论假定先有前提；这些前提本身或者是自明的而不需要证明，或者只能依赖其他命题而建立，鉴于我们不能这样追溯到无穷，每一门演绎科学，尤其是几何学，必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此，有关几何学的论著，都是以陈述这些公理开始的。不过，在这些公理中，也要有所区分：例如，“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题，而是分析命题。我认为它们是先验分析判断，我不愿去理会它们。

    可是，我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理：

    1°通过两点只能作一条直线；

    2°直线是一点到另一点的最短的路径；

    3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。

    一般地，虽然第二个公理的证明被省略了，但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中，可以把它演绎出来，我将进一步说明这一点。

    人们长期以来也想证明第三个公理，即所谓的欧几里得公设，但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊，其情景真是令人不可思议。最后，在19世纪头25年，几乎在同一时期，匈牙利的鲍耶（Bolyai）和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出，这种证明是不可能的；他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家；从此以后，法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。

    问题并没有结束；不久，由于黎曼（Riemann）发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文，问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作，我将进一步谈论它们，在这些著作中，引用一下贝尔特拉米（Beltrami）和亥姆霍兹（Helmholtz）的著作是合适的。

    鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设，那么显而易见，在否定该公设和承认其他公理时，我们便会导致出矛盾的推论；因此，不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。

    现在，这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。

    他开始假定：通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。

    此外，他仍保留了欧几里得的所有其他公理。从这些假设出发，他演绎出一系列定理，在其中不可能找到任何矛盾，而且他构造出一种几何学，其完美无缺的逻辑绝不亚于欧几里得几何学的逻辑。

    当然，这些定理与我们习用的定理截然不同，乍看起来，它们不能不使人们稍感困惑。

    例如，三角形的三个角之和总是小于两直角，这个和和两直角之差与三角形的曲面成比例。

    不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。

    如果我们把圆周分为n等分，并在各分点引切线，若圆的半径足够小，则这n个切线将形成一个多边形；可是，若这个半径足够大，则它们将不相交。

    多举这些例子是无用的；罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但它们在逻辑上却是相互密切关联的。

    黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界；并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外，还要承认这个世界距其他世界足够远，以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时，我们不妨再赋予这些生物以理性，并相信它们能够创造几何学。在此情况下，它们将肯定认为空间只有两维。

    不过，现在假定，这些想象的动物虽则依然没有厚度，但它的体形却是球形的而不是平面形的，它们都在同一球上，没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢？首先，很清楚，它们将认为空间只有两维；对它们来说，起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径，即大圆弧；一句话，它们的几何学将是球面几何。

    它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面，在这个球面上，发生着它们能够了解的一切现象。因此，它们的空间将是无界的，因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来，不过它们的空间将是有限的；人们从来也不能找到它的终点，但却可以绕它转圈子。

    好了，黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它，这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设，而且也不得不抛弃第一个公理：通过两点只能作一条直线。

    一般地讲，在球面上，通过两已知点我们只能引一个大圆（正如我们刚才看到的，对于我们想象的生物来说，这种大圆可以起直线的作用）；但是也有例外：若两已知点在对径上，则通过它们能引无数个大圆。

    同样地，在黎曼几何学（至少在它的各种形式之一）中，通过两点一般只能引一条直线；但是也有例外情况，即通过两点能引无数条直线。

    在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。

    例如，三角形的角之和是：

    在欧几里得几何学中等于两直角；

    在罗巴契夫斯基几何学中小于两直角；

    在黎曼几何学中大于两直角。

    通过一给定点能够引与已知直线共面但无论在什么地方也不与之相交的直线数是：

    在欧几里得几何学中等于1；

    在黎曼几何学中等于0；

    在罗巴契夫斯基几何学中等于无限。

    而且，黎曼空间虽则是无界的，但却是有限的，这是在上面给予这两个词的意义上而言的。

    常曲率面。一种反对意见依然是可能的。罗巴契夫斯基和黎曼的定理没有表现出矛盾；可是，这两位几何学家无论从他们的假设中引出多么多的推论，他们也必须在穷尽这些推论之前停下来，不然其数目将是无限的了；而且，谁能够说，如果他们把演绎推得更远一些，他们最终不会达到某些矛盾吗？

    对于黎曼几何学而言，只要把它限制在两维，就没有这种困难；事实上，正如我们看到的，两维黎曼几何学与球面几何毫无差别，它只是普通几何学的一个分支，因而毋庸讨论。

    同样，贝尔特拉米把罗巴契夫斯基的两维几何学看做是普通几何学的一个分支，他也驳斥了有关的反对意见。

    在这里，且看他是如何完成它的。考虑曲面上的任何图形。设想这个图形以下述方式画在一个易弯曲而不可扩展的、紧贴在这个曲面的画布上：当这个画布移动和变形时，这个图形的各种线条能改变它们的形状而不改变它们的长度。一般说来，这个易弯曲而不可扩展的图形在不离开该曲面的情况下是不能移动的；但是，也有某些特殊的曲面可以这样移动；这就是常曲率面。

    如果我们重新开始上面所作的比较，并设想没有厚度的生物生活在这些曲面之一上，那么它们将认为其所有线条在长度上依然保持不变的图形的运动是可能的。相反地，对于生活在可变曲率面上的无厚度的动物来说，这样一种移动似乎是荒谬的。

    这些常曲率面分为两类：一些是正曲率的，它们能够变形而紧贴在球面上。因此，这些曲面的几何学本身划归为球面几何，这就是黎曼几何学。

    其余是负曲率的。贝尔特拉米证明，这些曲面几何学无非是罗巴契夫斯基几何学。这样一来，黎曼和罗巴契夫斯基的二维几何学便与欧几里得几何学相关。

    非欧几何学的诠释。就这样，便消除了迄今关涉二维几何学的反对意见。

    可以很容易地把贝尔特拉米的推理推广到三维几何学。不排斥四维空间的心智将不会从中看到困难，但这种心智寥寥无几。因此，我宁可在其他方面继续讲下去。

    考虑某一平面，我将称其为基本平面，并编制一种词典，使写在两列中的两组术语一一对应，就像在普遍词典中其意义相同的两种语言的词相对应一样：

    空间：位于基本平面以上的空间部分。

    平面：与基本平面正交的球面。

    直线：与基本平面正交的圆。

    球面：球面。

    圆：圆。

    角：角。

    两点之间的距离：这两点以及基本平面与通过这两点的、并与之正交的圆的交点之交比的对数。如此等等。

    现在，以罗巴契夫斯基定理为例，并借助这本词典翻译它们，正如我们用德英词典翻译德文文本一样。这样，我们将得到普通几何学的定理。例如，有一罗巴契夫斯基定理：“三角形的角之和小于两直角”，它可以这样翻译为：“如果一曲线三角形的边延长后是与基本平面正交的圆弧线，则这个曲线三角形的角之和将小于两直角。”于是，不管把罗巴契夫斯基假设的推论推得多么远，它们将永远也不会导致矛盾。事实上，假如两个罗巴契夫斯基定理是矛盾的，那么它势必与借助于我们的词典所翻译的这两个定理的译文相同，但是这些译文是普通几何学的定理，而没有人对普通几何学无矛盾表示怀疑。这种确定性从何而来呢，它被证明是正当的吗？这是一个我无法在这里处理的问题，因为说起来话就长了，但是，它是十分有趣的，我不认为不可解决。

    因此在这里不存在我在上面所阐述的反对意见。这并非一切。罗巴契夫斯基几何学可容许被具体地加以诠释，而并不是空洞的逻辑练习，它还可以应用；在这里，我无暇谈论这些应用，也无暇谈及克莱因（Klein）和我为积分线性微分方程从它们得到的帮助。

    而且，这种诠释并不是唯一的，人们可以编制许多类似于前述词典的词典，它们都能使我们通过简单的“翻译”，把罗巴契夫斯基定理变换为普通几何学定理。

    隐公理。在我们的专著中... -->>
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