第十一章 概率演算

    在这里查明关于概率演算的思想，无疑会使人感到惊讶。它与物理科学的方法有什么关系呢？可是，我要提出而不去解决的问题自然地呈现在正在思考物理学的哲学家的面前。正是针对这一情况，我在前两章常常不得不使用“概率”和“偶然性”的词汇。

    正如我在上面已经说过的：“预见的事实只能是可几的。一个预见在我们看来不管建立得可能多么牢固，我们从来也没有绝对保证，实验不会否证它。然而，其概率往往是很大的，以致我们实际上可以满意它。”稍后，我又补充说，“看看简单性的信念在我们的概括中起了什么作用。我们已在为数众多的特例中证实了简单的定律；我们拒不承认这种如此经常重复的一致只能是偶然性的结果，……”

    这样，在许多境况下，物理学家与只盼望机遇的赌徒处在同一位置上。他像运用归纳推理一样，也常常或多或少有意识地需要概率演算，这就是我不得不引入插话、中断我们的物理学方法研究的原因，以便稍为比较仔细地审查一下这种演算的价值以及相信它有什么好处。

    概率演算这个名字本身就是一个悖论。与确定性相对的概率是我们不知道的东西，我们如何能够演算我们不知道的东西呢？可是，许多著名的学者已经从事这种演算，而且不能否认，科学从中获得了不少好处。

    我们如何能够说明这个表观上的矛盾呢？

    概率被定义了吗？它到底能够被定义吗？如果不能定义，那我们怎么敢针对它进行推理呢？人们将说，这个定义是很简单的：一个事件的概率是有利于这个事件的个例数与可能的个例总数之比。

    一个简单的例子将表明，这个定义是多么不完善。我掷出两个骰子。要使这两个中的一个至少出现六点的概率是多少？每一个骰子能够显示出六个不同的点；可能的个例数是6×6=36；有利的个例数是11；概率是11/36。

    这是正确的答案，但是，难道我不可以同样说：两个骰子上现出的点能够形成6×7/2=21种不同的组合吗？在这些组合中，6个是有利的；概率是6/21。

    现在，为什么第一种枚举可能个例的方法比第二种合理呢？

    无论如何，这不是我们的定义所能告诉我们的。

    因此，我们只好用下述说法完善我们的定义：“一个事件的概率是有利于这个事件的个例数与可能的个例总数之比，倘若这些个例同样是概然的话。”这样一来，我们便被迫用概然定义概然了。

    我们怎么能够知道，两个可能个例同样是概然的呢？这难道是依据约定吗？如果我们在每个问题的开头都放一个明晰的约定，那可就好了。于是，除了应用算术和代数法则以外，我们将无事可做，而且我们将完成我们的演算，我们的结果毫无怀疑的余地。但是，如果我们希望稍微应用一下这个结果，那么我们必须证明我们的约定是合理的，于是我们将发现我们恰恰面临着我们企图回避的困难。

    人们能说健全的感官足以向我们表明应该采纳什么约定吗？哎呀！贝尔特朗德（Bertrand）先生为了自娱而讨论了下述的简单问题：“圆的弦可比内接正三角形之边大的概率是多少？”这位杰出的几何学家相继采纳了健全的感觉似乎同样都能说出的两个约定，他发现一个概率是1/2，另一个概率是1/3。

    似乎从所有这一切就能断言，概率演算是一门无用的科学，而且我们必须怀疑这种模糊的本能，可是我们刚才还称其为健全的感觉，并习惯于求助它来证明我们的约定是合理的呢。

    但是，我们也不能赞成这个结论；没有这种模糊的本能，我们便无从做起。没有它科学则是不可能的，没有它我们既不能发现定律又不能应用定律。例如，我们有权利阐述牛顿定律吗？毋庸置疑，许多观察都与它相符；但这不是偶然性的简单结果吗？此外，这个定律几个世纪以来都为真，我们怎么知道它明年是否还将为真呢？对于这个异议，你会感到无从回答，除非说：“那是极其不可能的。”

    但是，姑且承认这个定律吧。依靠它，我自信我自己能够计算从现在起一年后土星的位置。我有权利相信这一点吗？谁能够告诉我，在从现在到那时这段时间内，一个以极大速度运动的巨大质量不会通过太阳系附近，从而产生未预见到的扰乱呢？在这里，只能再一次回答：“那是极其不可能的。”

    从这种观点来看，全部科学只可能是概率演算的无意识的应用而已。谴责这种演算就是谴责整个科学。

    在有些科学问题上，插入概率演算是比较明显的，我将稍微详述一下。在这些问题的最前沿有内插法问题，在内插法中，已知一定数目的函数值，我们企图猜测中间值。

    我同样要提到著名的观察误差理论，我以后还要提及它；气体运动论这个众所周知的假设假定，每一个气体分子都描绘出极复杂的轨道；但是，由于大数的效果，唯一可观察的平均现象服从马略特和盖-吕萨克（Gay-Lussac）的简单定律。

    所有这些理论都建立在大数定律的基础上，概率演算显然会毁坏它们。的确，它们只有特殊的利益，除了涉及内插法外，这些都是我们心甘情愿付出的牺牲。

    但是，正如我上面说过的，可以受到怀疑的也许不仅仅是这些部分的牺牲；整个科学的合法性恐怕将受到挑战。

    我确实知道有人可能会说：“我们是无知的，可是我们必须行动。为了行动，我们无暇全力以赴地进行充分的调查，以消除我们的无知。况且，这样的调查也需要无数的时间。因此，我们必须在未知之前作决定；不论成功与否，我们不得不这样做，我们必须在不完全相信这些法则的情况下遵循它们。我知道的并不是某一事物是真实的，不过在我看来，最好的方针就是权当它是真实的而行动。”从那时起，概率演算从而科学本身都只有实际的价值了。

    不幸的是，困难并没有因此而消失。赌徒想一举获胜；他询问我的意见。如果我向他提出建议，那么我要运用概率演算，但是我不能保证成功。这就是我所谓的主观概率。在这个个案中，我必须满足于我刚才给出梗概的说明。但是，假定一观察者在赌博现场，他记下各盘的输赢，赌博继续了很长时间。当他汇总他的记录时，他将发现，事件的发生与概率演算的规律一致。这就是我所谓的客观概率，正是这个现象必须加以说明。

    有许多保险公司应用概率演算法则，它们把红利分给它们的股东，这些红利的客观实在性是无可辩驳的。乞灵于我们的无知和行动的必要性不足以说明它们。

    因此，绝对的怀疑论是不可接受的。我们可以怀疑，但是我们不能整个儿宣布不适用。有必要进行讨论。

    Ⅰ. 概率问题的分类。为了把所呈现的关于概率的问题恰当地加以分类，我们可以从许多不同的观点考察它们，首先从普遍性的观点考察它们。我在上面已经说过，概率是有利个例数与可能个例数之比。由于没有较好的名词，我所谓的普遍性将随着可能个例数增加。这个数可以是有限的，例如我们掷一局骰子，其中可能个例数是36。这是一次普遍性。

    但是，例如我们要问，圆内的点在内接正方形内的概率是多少，那么圆内有多少点便有多少可能个例，也就是说有无限多可能个例。这是二次普遍性。普遍性还能够向前推进。我们可以问函数将满足给定条件的概率。于是，人们能设想出多少不同的函数，就有多少可能个例。这是三次普遍性，例如当我们企图寻找与有限的观察数相符合的最概然的定律时，我们就上升到三次普遍性了。

    我们可以使自己站在完全不同的观点上。如果我们不是无知的，那就不会有概率，无非为确定性留下了位置。但是，我们的无知不能是绝对的，因为那样根本就不会再有任何概率，由于甚至要达到不确定的科学，还需要一点光明才行。因此，概率问题可以按照这种无知的或深或浅来进行分类。

    在数学中，我们甚至可以提出概率问题。从对数表中随意取出的对数的第五位小数是9，其概率若何？可以毫不犹豫地回答，这个概率是1/10；在这里，我们具有该问题的所有数据。我们不用求助对数表就能够计算我们的对数，但我们不想去自找麻烦。这是第一级无知。

    在物理科学中，我们的无知变得更大。一个系统在给定时刻的状态取决于两件事：它的初始状态和状态变化所依据的定律。如果我们知道这个定律和这个初始状态，那么我们将有一个待解决的数学问题，我们又落回到第一级无知上。

    但是，常常会发生这种情况：我们知道定律，却不知道初始状态。例如，可以问小行星目前的分布如何？我们知道，自古以来，它们服从开普勒定律，但是我们不知道它们的初始分布是什么。

    在气体运动论中，我们假定气体分子沿直线轨道运动，并服从弹性体碰撞定律。但是，因为我们不知道它们的初始速度，所以我们也不知道它们现在的速度。

    概率演算只能使我们预言由这些速度组合将要引起的平均现象。这是第二级无知。

    最后，不仅初始条件，而且定律本身都可能是未知的。这样，我们便达到第三级无知，至于现象的概率，一般说来，我们根本不再能肯定任何东西。

    人们往往不是借助或多或少的关于定律的不完善的知识试图猜测事件的，事件可能是已知的，我们想去寻找定律；或者，我们不是由原因推导结果，而是希望从结果推导原因。这些是所谓的原因概率问题，从它们的科学应用的观点来看是最有趣的。

    我和一位先生玩纸牌游戏，我知道他是很诚实的。他正准备发纸牌。他翻出王牌的概率是多少？是1/8。这是结果概率的问题。

    我和一位不相识的先生玩牌。他发了十次牌，而翻出六次王牌。他是骗子的概率是多少？这是原因概率中的问题。

    有人可能会说，这是实验方法的基本问题。我观察到x的n个值和相应的y值。我发现，后者与前者之比实际上是常数。这里有一个事件，其原因何在呢？

    大概存在着y与x成比例的普遍定律吧，大概小小的发散是由于观察的误差吧？这是人们正在不断询问的一种类型的问题，每当我们从事科学工作时，我们都在无意识地解决它。

    现在，我将把这些不同范畴的问题提出来加以评论，同时依次讨论我上面所谓的主观概率和客观概率。

    Ⅱ. 数学中的概率。自从1882年以来，求圆面积的不可能性已被证明；但是，即使在那时之前，所有几何学家都认为，这种不可能性是如此之“可能（概然）”，以致科学院不经审查，就抛弃了一些不幸的狂人每年递交的关于这个课题的论文，哎呀，这些论文可真是太多了！

    科学院错了吗？显然不是这样，它清楚地知道，这样做不会冒一点扼杀重大发现的危险。科学院不可能证明它是对的，但它十分清楚地了解，它的本能不会犯错误。假使你要问科学院院士，他们会回答说：“我们曾作过比较，是无名学者能够解决长期努力依然悬而未决的问题的概率大，还是地球上多了一个狂人的概率大；在我们看来，第二个概率好像比较大。”这些是十分充足的理由，但它们毫无数学根据，它们纯粹是心理的理由。

    如果你再进一步追问他们，他们会补充道：“你为什么要假定超越函数的特别值是代数数呢？如果π是一个代数方程的根，你为什么要假定这个根是函数sin2x的周期，而同一方程的其他根则又不然呢？”总而言之，他们要求助于以模糊形式出现的充足理由律。

    然而，他们能够从中推出什么呢？至多不过推出它们时代使用的行为规则，与其阅读激起他们合理怀疑的学究式的文章，倒不如把时间花在日常工作上更有用。但是，我上面所谓的客观概率与这里的第一个问题毫无共同之处。

    至于第二个问题，则是另外的样子。

    考虑一下我在对数表中找出的头10 000个对数。在这10 000个对数中，我随意取出其中之一。它的第三位小数是偶数的概率是多少？你将毫不犹豫地回答是1/2；事实上，如果你在对数表中挑出这10 000个数的第三位小数，你将发现偶数和奇数几乎一样多。

    或者，如果你乐意的话，让我们写出与10 000个对数对应的10 000个数来；若相应的对数的第三位小数为偶数，则这些数中的每一个是+1，若为奇数，则是-1。接着，取这10 000个数的平均值。

    我会毫不迟疑地说，这10 000个数的平均值大概是0，如果我实际去计算它，我便可以核验它是极小的。

    但是，即使这一核验也是不需要的。我可以严格地证明，这个平均值小于0.003。为了证明这个结果，我不得不作相应冗长的演算，这里没有它的篇幅，为此我只好引用我在1899年4月15日的《科学总评论》上发表的一篇文章。我希望引起注意的唯一之点如下：在这一演算中，我只应需要把两件事实作为我的个例的基础，也就是说，对数的一阶导数和二阶导数在所考虑的区间内依然处在某些极限之间。

    因而，这是一个重要的结果，即该性质不仅对对数为真，而且对任何连续函数也为真，由于每一个连续函数的导数都是有限的。

    如果我预先确定了这个结果，首先是因为我就其他连续函数常常观察到类似的事实；其次，是因为我在心里以或多或少的无意识的和不完善的方式做过推理，这种推理能使我得出前面的不等式，正如一位娴熟的演算能手，在做完乘法之前，总能考虑到它大约是多少了。

    此外，由于我所谓的我的直觉只不过是真实推理片断的不完善的概要，这就明白了观察为何能确认我的预见，客观概率为何与主观概率一致。

    我将选择下述问题作为第三个例子：随便取一个数u，n是一个给定的很大的整数。sinnu的概值（probable value）是什么？这个问题独自毫无意义。为了使它有意义，就需要约定。我们将公认，数u处在a和a+da之间的概率等于?（a）da；因此，它与无限小区间da成比例，而且等于这个区间与仅依赖于a的函数?（a）之积。至于这个函数，我可以任意选择它，但是我必须假定它是连续的。当u增加2π时，sinnu的值依然相同，因此我可以在不失去普遍性的情况下设想，u处在0与2π之间，这样我便有可能假定，?（a）是周期函数，其周期是2π。

    所求的概值可以方便地用单积分表示，很容易证明，这个积分小于

    2πMk/nk，

    Mk是?（u）的k阶导数的极大值。于是我们看到，如果k阶导数是有限的，那么当n无限增加时，我们的概值将趋于0，而且比1/nk-1更快地趋于0。 因此，当n很大时，sinnu的概值是零。要定义这个值，我需要约定；但是，无论约定可能是什么，其结果总是相同的。在假定函数?（a）是连续的和周期的时，我只是给我自己强加了很少的限制，这些假设是如此自然，以致我们可以自问，如何能够避免它们。

    通过对前述三个在各方面如此不同的例子的审查，已经使我们一方面瞥见到哲学家所谓的充足理由律是什么，另一方面瞥见到对所有连续函数都是共同的某些性质这一事实的重要性。研究物理科学中的概率将导致我们得到同一结果。

    Ⅲ. 物理科学中的概率。我现在来到与我们所谓的第二级无知有关的问题上，也就是说，在这些问题中，我们知道定律，但不知道系统的初始状态。我能增加许多例子，但只想举一个。在黄道带上，小行星目前可能的分布如何？

    我知道它们服从开普勒定律。我们甚至根本不用改变问题的性质就可以假定，它们的轨道都是圆的，并且处在同一平面上，我们知道这个平面。另一方面，谈到它们的初始分布，我们却一无所知。不过，我们却毫不犹豫地断定，它们的分布现在几乎是均匀的。为什么呢？

    设b是... -->>
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