张邱建算经卷下

nbsp;  术曰置人数为实车数为法而一得四人共重又置一于上方命之实余返减法讫以四加十一方一得五人共重法余即四人共重车数实余即五人共重车数

    草曰置五百人以一百一十三乘除之得四人余四十八以减法余六十五为四人共一车以四因六十五人得二百六十减五百余二百四十以四十八除之得五人共重一车量合问

    今有甲持钱二十乙持钱五十丙持钱四十丁持钱三十戊持钱六十凡五人合本治生得利二万五千六百三十五欲以本钱多少分之　问各人得几何

    答曰

    甲得二千五百六十三钱四分钱之二乙得六千四百八钱四分钱之三

    丙得五千一百二十七钱

    丁得三千八百四十五钱四分钱之一戊得七千六百九十钱四分钱之二

    术曰各列置本持钱数副并为法以利钱乘未并者各自为实实如法得一

    草曰置甲等五人所持钱并之得二百为法又以甲持钱二十乘利钱二万五千六百三十五得五十一万二千七百以法除之得二千五百六十三余与法皆五除得法四余二是四分钱之二求乙钱以乙五十乘利钱得一百二十八万一千七百五十又以法除之得六千四百八钱余与法皆倍之得四分钱之三求丙持钱以四十乘利钱得一百二万五千四百以法除之得五千一百二十七钱求丁钱以三十乘利钱得七十六万九千五十以法除之得三千八百四十五钱四分钱之一求戊钱以六十乘利钱得一百五十三万八千一百以法除之得七千六百九十钱四分钱之二乃合前问

    今有甲乙丙三人共出一千八百钱买车一辆欲与亲知乘之为亲不取还卖得钱一千五百各以本钱多少分之甲得五百八十三钱三分钱之一乙得五百钱丙得四百一十六钱三分钱之二　问本出钱各几何

    答曰

    甲出钱七百

    乙出钱六百

    丙出钱五百

    术曰置甲乙丙分得之数副并为法以置车钱数乘未并者各自为实实如法得一

    草曰置甲得钱五百八十三以分母三乘之内子乙得一千七百五十又以本置车钱一千八百乘之得三百一十五万又置求分钱一千五百以分母三因之得四千五百为法以除实得七百是甲钱求乙置分得钱数五百以一千八百乘之得九十万以一千五百为法除之得六百求丙置分得钱数四百一十六以钱分母三因之内子二得一千二百五十又以八千八百乘之得二百二十五万又置未分钱一千五百三因之得四千五百为法除实得五百合前问

    今有雀一只重一两九铢燕一只重一两五铢有雀燕二十五只并重二斤一十三铢　问燕雀各几何

    答曰

    雀十四只

    燕十一只

    术曰置假令雀一十五只燕十只盈四铢于右行又置假令雀十二只燕十三只不足八铢于左行以盈不足维乘之并以为实并盈不足为法实如法得一

    草曰置雀一十五只于右上置盈四铢于右下又置雀一十二只于左上置不足八铢于左下维乘之以右下四乘左上一十二得四十八以左下八乘右上一十五得一百二十并之得一百六十八以盈不足并之得一十二为法除实得一十四雀求燕置燕十于右上四于右下又置燕十三于左上置八于左下以左下八乘右上十得八十以右下四乘左上十三得五十二并之得一百三十二并盈不足为法除实得一十一燕得合前问

    今有七人九日造成弓十二张半今有十七人造弓十五张　问几何日讫

    答曰四日八十五分日之三十八

    术曰置今造弓数以弓日数乘之又以成弓人数乘之为实以今有人数乘本有弓数为法实如法得一

    草曰置今造弓十五张以成弓日数九乘之得一百三十五又以成弓人数七乘之得九百四十五为实又置本造弓十二张半以今造弓十七人乘之得二百一十二半为法除之得四日法与余皆退位四因得八十五分之三十八合前问

    今有城周二十里欲三尺安鹿角一枚五重安之　问凡用鹿角几何

    答曰六万一百枚

    城若圆凡用鹿角六万六十枚

    术曰置城周里尺数三而一所得五之又置五以三乘之又自相乘以三自乘而一所得四之并上位即得凡数　城若圆者置城周里尺数三而一所得五之又并一二三四凡得一十以六乘之倂之得凡数

    草曰置二十里以三百步乘之得六千步法六因之得三万六千以三尺除之得一万二千以重数五乘之得六万于上位又以五乘三得一十五又自相乘得二百二十五又以三自乘得九为法以除二百二十五得二十五四因之得一百　若求圆者置城围尺数三而一得一万二千所得五因之为六万于上位又以一二三四并之得一十以六因之得六十从上位得六万六十是圆也

    今有粟二百五十斛委注平地下周五大四尺　问高几何

    答曰五尺

    术曰置粟积尺以三十六乘之为实以下周自乘为法实如法得一

    草曰置粟二百五十以斛法一尺六寸二分乘又以三十六乘之得一万四千五百八十置下周五丈四尺自相乘得二千九百一十六为法除实得五尺合前问

    今有客岁作【臣淳风等谨按问意三百五十四日】要与粟一百五十斛已与之粟先五十八日归　问折粟与粟各几何

    答曰

    折粟二十四斛五防五十九分防之四十五与粟一百二十五斛四防五十九分防之十四

    术曰置归作日数以与粟乘之各自为实以一岁三百五十四日为法实如法得一

    草曰置归作日五十八日以粟一百五十斛乘之得八千七百又以岁三百五十四除得二十四石五防余与法皆六除之得五十九分防之四十五求与粟数以作日二百九十六以一百五十斛乘之得四万四千四百以岁三百五十四除之得一百二十五斛四斗五十九分防之十四合前问

    今有廪人人日食米六升今三十五日食米七千四百九十二斛八防　问人几何

    答曰三千五百六十八人

    术曰置米数为实以六升乘三十五日为法实如法得一

    草曰置米七千四百九十二斛八防以六乘三十五日得二斛一防为法以除积数得三千五百六十八人合前问

    今有五十八人二十九日食麫九十五斛三防一升少半升　问人食几何

    答曰五升太半升

    术曰置麫斛斗升数为实以人日食相乘为法实如法得一

    草曰置麫数以三因之内子一得二万八千五百九十四置人数五十八以二十九乘之得一千六百八十二又以三因之得五千四十六为法除得五升余皆三约之得三分之二为太半升合前问

    今有二人三日锢铜得一斤九两五铢今一月日锢铜得九千八百七十六斤五两四铢少半铢　问人功几何

    答曰一千二百五十三人三百六十三分人之二百六十二

    术曰置二人三日所得锢铜斤两铢通之作铢以二人三日相乘除之为一人一日之铢二十四而一还以一人一日所得两铢通分内子复以一月三日乘一人积分所得复以铢分母三通之为法又以今锢铜斤两通为铢以少半铢者三分之一以三通内一以六乘之为实实如法而一得人数不尽约之为分

    草曰置二人三日所得铜一斤九两以十六通斤得二十五两又以铢数二十四乘之入五铢得六百五以二人乘三日得六为法除得一百铢六分之五是一日所得之数以二十四除之一人所得四两四铢六分铢之五却通分内子得六百五以一月三十日乘之得一万八千一百五十又以通分母三因之得五万四千四百五十为法置今锢铜以十六两乘之内五两得一十五万八千二十一两又以二十四铢乘之内四铢得二百七十九万二千五百八铢又以通分母三因之内子一得一千一百三十七万七千五百二十五又以法分母六因之得六千八百一十六万五千一百五十为实以法除之得一千二百五十三人法与余皆一百五十约之法得三百六十三余得二百六十二合前问

    今有立方九十六尺欲为立圆　问径几何

    答曰一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八

    术曰立方再自乘又以十六乘之九而一所得开立方除之径得圆径

    草曰置九十六再自乘得八十八万四千七百三十六又以十六乘之得一千四百一十五万五千七百七十六以九除之得一百五十七万二千八百六十四以立方法除借一算子于下常超二位步至百而上商置一百下置一百万于法之上名曰方法以法命上方一百除实一百万方法三因之得三百万又置一百万于方法之下名曰廉法三因之方法一退廉法再退下法三退又置一十于上商一百之下又置一千于下法之上名曰隅法以方廉三法皆命上商一十除十毕又倍廉法三因之隅法皆从方法又置一百一十于方法之下三因之名曰廉法方法一退廉法再退隅法三退又置六于上商之下又置六于下法之上名曰隅法乃自乘得三十六又以六乘廉法得一千九百八十五方廉隅三法皆命上商六除之除实毕倍廉法三因隅法皆从方得一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八合前问

    今有立圆径一百三十二尺　问为立方几何

    答曰二百八尺三万四千九百九十三分尺之三万四千二十

    术曰令径再自乘九之十六而一开立方除之得立方

    草曰置径一百三十二尺再自乘得二百二十九万九千九百六十八又以九因之得二千六十九万九千七百一十二又以十六除之得一百二十九万三千七百三十二以开立方法除之得合前问

    今有立方材三尺锯为方枕一百二十五枚　问一枚为立方几何

    答曰一枚方六寸

    术曰以材方寸数再自乘以枚数而一所得开立方除之得枕方

    草曰以三十寸再自相乘得二万七千寸以枕一百二十五枚除之得二百一十六以开方除之置上六于上借一算子于下置六于下法之上以自乘得三十六名曰方法以方法命上商除之得六寸乃合前问

    今有亭一区五十人七日筑讫今有三十人　问几何日筑讫

    答曰十一日三分日之二

    术曰以本人数乘筑讫日数为实以今有人数为法实如法得一

    草曰置七以五十人乘之得三百五十以三十人为法除得十一日三分之二合前问

    今有负他钱转利偿之初去转利得二倍还钱一百第二转利得三倍还钱二百第三转利得四倍还钱三百第四转利得五倍还钱四百得毕凡转利倍数皆通本钱今除初本有钱五千九百五十　问初本几何

    答曰本钱一百五十

    术曰置初利还钱以三乘之并第二还钱又以四乘之并第三还钱又以五乘之并第四还钱讫并余钱为实以四转得利倍数相乘得一百二十减一余为法实如法得一

    草曰置初还钱一百以三乘之得三百又并第二还钱得五百以四乘之得二千又并第三还钱得二千三百以五乘之得一万一千五百又并第四还钱并今有钱得五千九百五十共得一万七千八百五十以四转利二三四五相乘得一百二十除一余一百一十九为法除实得一百五十本合前问

    今有三人四日客作得麦五斛今有七人一月日客作问得麦几何

    答曰八十七斛五防

    术曰以七人乘一月三十日又以五斛乘之为实以三人乘四日为法实如法而得一

    草曰以七人乘三十日得二百一十又五斛乘之得一千五十为实以三人乘四日得一十二为法除实得八十七斛五防即合前问

    今有人举取他绢重作劵要过限一日息绢一尺二日息二尺如是息绢日多一尺今过限一百日　问息绢几何

    答曰一百二十六疋一丈

    术曰并一百一日息以乘百日而半之即得草曰置一百一尺以一百日乘之得一万一百尺半之得五千五十尺以疋法四十尺除之得一百二十六疋一丈合前问

    今有妇人于河上荡杯津吏问曰杯何以多妇人答曰家中有客不知其数但二人共酱三人共羮四人共饭凡用杯六十五　问人几何

    答曰六十人

    术曰列置共杯人数于右方又共置共杯数于左方以人数互乘杯数并以为法令人数相乘以乘杯数为实实如法得一

    草曰置人数二三四列于右行置一一一杯数左行以右中三乘左上一得三又以右下四乘之得一十二又以右上二乘左中一得二又以右下四乘之得八以右上二乘左下一得二又以右中三乘左下二得六三位并之得二十六为法又以二三四相乘得二十四以乘六十五杯得一千五百六十以二十六除之得六十人数合前问

    今有鸡翁一直钱五鸡母一直钱三鸡雏三直钱一凡百钱买鸡百只　问鸡翁母雏各几何

    答曰

    鸡翁四直钱二十

    鸡母十八直钱五十四

    鸡雏七十八直钱二十六

    又答

    鸡翁八直钱四十

    鸡母十一直钱三十三

    鸡雏八十一直钱二十七

    又答

    鸡翁十二直钱六十

    鸡母四直钱十二

    鸡雏八十四直钱二十八

    术曰鸡翁每增四鸡母每减七鸡雏每益三即得【所以然者其多少互相通融于同价则无术可穷尽其理】

    此问若依上术推算难以通晓然较之诸本并同疑其从来脱漏阙文盖流传既久无可考证自汉唐以来虽甄鸾李淳风注释未见详辨今将算学教授并谢察微拟立术草剏新添入

    其术曰置钱一百在地以九为法除之【以九除之既雏三直钱一则是每雏直三分钱之一宜以鸡翁母各三因并之得九】得鸡母之数不尽者返减下法为鸡翁之数别列鸡都数一百只在地减去鸡翁母数余即鸡雏得合前问若鸡翁每增四鸡母每减七鸡雏每益三或鸡翁每减四鸡母每增七鸡雏每损三即各得又答之数

    草曰置钱一百文在地为实又置鸡翁一鸡母一各以鸡雏三因之鸡翁得三鸡母得三并鸡雏三并之共得九为法除实得一十一为鸡母数不尽一返减下法九余八为鸡翁数别列鸡都数一百只在地减去鸡翁八鸡母一十一余八十一为鸡雏数置翁八以五因之得四十即鸡翁直钱又置鸡母一十一以三因之得三十三即鸡母直又置鸡雏八十一以三除之得二十七即鸡雏直合前问

    又草曰置鸡翁八增四得一十二鸡母一十一减七得四鸡雏八十一益三得八十四得百鸡之数如前求之得百钱之数亦合前问

    又草曰置鸡翁八减四得四鸡母一十一增七得一十八鸡雏八十一损三得七十八如前求之各得百鸡百钱之数亦合前问