卷三十八 经部三十八

    ○乐类

    沈约称《乐经》亡于秦。考诸古籍，惟《礼记经解》有“《乐》教”之文。伏生《尚书大传》引“辟雝舟张”四语，亦谓之《乐》。然他书均不云有《乐经》（隋志《乐经》四卷，盖王莽元始三年所立，贾公彦《考工记·磬氏疏》所称“《乐》曰”，当即莽书，非古《乐经》也）。大抵《乐》之纲目具于《礼》，其歌词具于《诗》，其铿锵鼓舞则传在伶官。汉初制氏所记，盖其遗谱，非别有一经为圣人手定也。特以宣豫导和，感神人而通天地，厥用至大，厥义至精，故尊其教得配于经。而后代钟律之书亦遂得着录于《经部》，不与《艺术》同科。顾自汉氏以来，兼陈雅俗，艳歌侧调，并隶云韶。于是诸史所登，虽细至筝琶，亦附于经末。循是以往，将小说稗官未尝不记言记事，亦附之《书》与《春秋》乎？悖理伤教，于斯为甚。今区别诸书，惟以辨律吕、明雅乐者仍列于经，其讴歌末技，弦管繁声，均退列《杂艺》、《词曲》两类中。用以见大乐元音，道侔天地，非郑声所得而奸也。

    △《皇祐新乐图记》·三卷（两淮马裕家藏本）

    宋阮逸、胡瑗奉敕撰。仁宗景祐三年二月，以李照乐穿凿，特诏较定钟律，依《周礼》及历代史志立议范金。至皇祐五年，乐成奏上，此其图记也。旧本从明文渊阁录出，后有宋陈振孙嘉定己亥《跋》云：“借虎邱寺本录。”盖当时所赐、藏之名山者。又有元天历二年吴寿民《跋》、明万历三十九年赵开美《跋》，叙此书原委颇详。考初置局时，逸、瑗与房庶等皆驿召预议。诏命诸家各作钟律以献，而持论互异。司马光主逸、瑗之说，范镇主房庶之说，往反争议，卒不能以相一。其往返书牍，具光《传家集》中。而镇所作《东斋记事》，亦略存其概。大抵逸、瑗以为黄钟之管积八百一十分，容一千二百黍。又以《九章》圜田算法计之，黄钟管每长一分，积九分，容十三黍三分黍之一，空径三分四釐六毫，围十分三釐八毫。围径用径三围九古率，而改围九分为九方分，别迁就之术也。司马光曰：“古律已亡，非黍无以见度，非度无以见律。律不生于度与黍，将何从生？非谓太古以来律必生于度也。特以近世古律不存，故返从度法求之耳。”其论最明。范镇讥其以度起律，诚为过当。然镇以秬、黍、律、尺、龠、鬴、斛、算数、权衡、钟声十者必相合而不相戾然后为得，亦不为无见也。以律起度，与以度起律，源流本无异同，而二家算术不精。逸、瑗等得之于横黍，而失之于围径，又以大黍累尺，小黍实管，自相乖反。房庶以千二百黍实之管中，随其长短，断之以为九寸之管，取三分以度空径，则空径不生于黍，而别有一物为度以起分，竟不必实黍于管。亦未见其为通论也。是书上卷具载律吕、黍尺、四量、权衡之法，皆以横黍起度，故乐声失之于高。中、下二卷考定钟磬、晋鼓及三牲鼎、鸾刀制度，则精核可取云。

    △《乐书》·二百卷（福建巡抚采进本）

    宋陈旸撰。旸字晋之，闽清人。绍圣中登制科，官礼部侍郎。事迹具《宋史》本传。此书乃建中靖国间旸为秘书省正字时所进。自第一卷至九十五卷，引三《礼》、《诗》、《书》、《春秋》、《周易》、《孝经》、《论语》、《孟子》之言，各为之训义。其第九十六卷至二百卷，则专论律吕本义、乐器、乐章及五礼之用乐者，为《乐图论》。引据浩博，辨论亦极精审。视其兄祥道《礼书》，殆相伯仲。第《礼书》所载，只详于三代器数，是书则又推及律吕本原及后世雅俗诸部。故陈振孙《书录解题》谓《乐书》博则博矣，未能免于芜秽也。然旸书包括历代，总述前闻，既欲备悉源流，自不得不兼陈正变。使振孙操笔而修史，将举古来秕政乱法一切删之不载乎？此南宋人迂谬之见，不足据也。其中惟辨“二变”、“四清”二条，实为纰缪。自古论“四清”者，以民臣相避以为尊卑立说，本属附会。旸则曰：“黄钟至夹钟四清声，以附正声之次。”其意盖谓夷则至应钟四宫而设。既谓黄钟至夹钟为清，又谓为夷则至应钟而设，是两“四清”也。不知每一均必具五声，夷则一均以夷、南、无、应为次，而阙角声，必须黄钟清为角。南吕一均以南、无、应为次，而阙羽、角二声，必须黄清为羽、大清为角。以调而论，则谓夷、南、无、应四律，以声而言，则为黄、大、太、夹四清，非有二也。其不用正声而用清声者，乐之高下以渐，无骤高骤下之理。以夷则一均言之，如用夷、南、无、应四正律，则其声以次而高。而忽用黄钟正律，虽同在一均，而高下不协，故必以黄清协之也。旸引李照十二钟之说，殊为舛误。又论“二变”曰：“五声者，乐之拇指也。二变者，五声之骈枝也。五声可益为七音，则五星、五行、五常亦可益而七之乎？二变之说始于尚书，而蔓衍于《左传》、《国语》、《书传》、《汉志》。是不知《书》之‘在治忽’，有‘五声’而无‘七始’。《国语》之‘七同’，有四宫而无徵也。《左氏》为七音之说，盖八音耳。八音以土为主，而七音非土不和。故《书》之《益稷》、《礼》之《乐记》，其言八者皆虚其一，犹大衍虚其一也”云云。不知“二变”之生，由于高下之次。蔡元定相去二律则音节远之说最有根据。若不究其理之所由然，而但以数相较，则七较之五而多其二者，将十二较之五而亦多其七，是音不得有其七，而律亦不得有其十二乎？且“五声”、“二变”，有管律弦度之不同。半太蔟与正黄钟应，半夹钟与正大吕应。此理尤为旸所不知也。至以七音为八音虚土而言，尤为牵强矣。又其释《周官》三宫之乐，以圜、黄、太、姑为宫之旋而在天者，故其合别而为四。函、太、姑、南为宫之旋而在地者，故其合降而为三。黄、大、太、应为宫之旋而在人者，故其合降而为二。若然，则天宫用八律，地宫用六律，人宫用四律，以多少为差别也。而圜丘乐六变，方丘乐八变，宗庙乐九变，又何以解耶？凡此之类，皆不可据为典要。然唐以来乐书无传，北宋乐书惟《皇祐新乐图记》及此书存耳。遗文绪论，条理可徵，又安可以一眚废耶？

    △《律吕新书》·二卷（编修李潢家藏本）

    宋蔡元定撰。元定字季通，建阳人。庆元中坐党禁，流道州卒。事迹具《宋史·道学传》。朱子称其律书法度甚精，近世诸儒皆莫能及。又云：“季通理会乐律，大段有心力，看得许多书。”及为是书作《序》，又曰：“黄钟围径之数，则汉斛之积分可考。寸以九分为法，则《淮南》、太史、小司马之说可推。五声二变之数，变律半声之例，则杜氏之《通典》具焉。变宫、变徵之不得为调，则孔氏之《礼疏》固亦可见。至于先求声气之元，而因律以生尺，则尤所谓卓然者。而亦班班杂见于两汉之制、蔡邕之说与夫国朝《会要》以及程子、张子之言。”盖是书实朱蔡师弟子相与共成之者，故独见许如此。书分二卷。一为《律吕本原》，凡十三篇：《黄钟》第一、《黄钟之实》第二、《黄钟生十一律》第三、《十二律之实》第四、《变律》第五、《律生五声图》第六、《变声》第七、《八十四声图》第八、《六十调图》第九、《候气》第十、《审度》第十一、《嘉量》第十二、《谨权衡》第十三。其一卷为《律吕证辨》，凡十篇：《造律》第一、《律长短围径之数》第二、《黄钟之实》第三、《三分损益上下相生》第四、《和声》第五、《五声大小之次》第六、《变宫变徵》第七、《六十调》第八、《候气》第九、《度量权衡》第十。今考元定之说，多截竹以拟黄钟之管，皆即以其长权为九寸，而度其围径如黄钟之法。更迭以吹，则中声可得。浅深以列，则中气可验。是截管之法必本之候气也，而候气之说最为荒渺。《后汉、晋、隋志》所载，又各异同。既云“以木为案，加律其上”，又云“埋之土与地平”，又云“置于案上而以土埋之，上平于地。”此置律有浅深高下之不一也。既云“以葭莩灰抑其内端，气至者灰去”，又云“以竹灰莩实律，以罗縠覆律口，气至吹灰动縠，有小动、大动、不动三说”，又云“灰飞动素，散出于外，而气应有早晚，灰飞有多少。”其说又不一也。然则候气既不足凭，人声又无左验。是蔡氏所谓声气之元者，亦徒为美听而已，非能见之实事也。刘歆铜斛，具详《汉志》。而《隋志》又详载其铭曰：“律嘉量斛，方尺而圆，其外庣旁，九釐五毫，幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。”祖冲之所讥以为汉世斛铭、刘歆诡谬其数为算氏之剧疵者是也。元定乃并《汉志》取之，以定黄钟积实为八百一十分，何也？荀勖之尺，《隋志》所谓晋前尺也。当晋之时，阮咸已讥其高。而元定以为此尺出于汲冢之律，与刘歆之斛最为近古，乐声高急，不知当时之围径果为何如？夫古人所云径三分围九分者，言圆径三分而周九分也。空围即圆周也。胡瑗疑其管狭，不足容千二百黍，遂大其空径四釐六毫，而周为十分三釐八毫。是亦径三围九之率也。因以空围为管内之面，幂为容九方分矣。元定从之，而以圆田术起算黄钟积实，又失之太大，则不精算术之误也。至谓黄钟六变律不与本均之声相应，而不知当用清声。又谓“二变”不可以为调，而不知“二变”之调具足五音。若以“二变”音为每调之七音，则反为出调。凡此皆元定之所未及详者，故特着之，以纠其失焉。

    △《瑟谱》·六卷（永乐大典本）

    元熊朋来撰。朋来有《五经说》，已着录。是书大旨以为在礼堂上侑歌，惟瑟而已，他弦莫侑，为古人所最重。自瑟教废而歌《诗》者莫为之谱。既作《瑟赋》二篇，发明其理，复援据古义，参以新意，定为一编。首为《瑟弦律图》；次为《旋宫六十调图》；次为《雅律通俗谱例》；次为《指法》；次为《诗旧谱》，凡《鹿鸣》、《四牡》、《皇皇者华》、《鱼丽》、《南有嘉鱼》、《南山有台》、《关雎》、《葛覃》、《卷耳》、《鹊巢》、《采蘩》、《采苹》十二篇，即赵彦肃所传《开元十二诗谱》；次曰《诗新谱》，凡《驺虞》、《淇奥》、《考槃》、《黍离》、《缁衣》、《伐檀》、《蒹葭》、《衡门》、《七月》、《菁菁者莪》、《鹤鸣》、《白驹》、《文王》、《抑》、《崧高》、《烝民》、《駉》十七篇，皆朋来所补；次曰《乐章谱》，为学宫释奠乐章；终以《瑟谱后录》，则古来论瑟之语也。其《瑟弦律图》以中弦为极清之弦，虚而不用，驳姜氏《瑟图》二十五弦全用之非。案聂崇义《三礼图》，雅瑟二十三弦，其常用者十九弦，其馀四弦谓之番。番，赢也。颂瑟二十五弦尽用之。又《庄子》、《淮南子》均有“鼓之二十五弦皆动”之文，则姜氏之说于古义有徵，未可尽斥。其《旋宫图》内所列六十调，皆据蔡氏《律吕新书》所推。其十二宫则用《礼记正义》黄钟一、林钟二之次，与蔡氏黄钟一、大吕二之次不同。又改“二变”为“二少”，少与老相应，变与正不相应，实不如《律吕新书》之确。又黄钟一均，惟黄钟宫用七正律，无射商则一正一半五变半，夷则角则二正二半三变半。朋来列七正律于黄钟宫之前，而无射商以下不书正变及半律、变半律，亦为疏略。其《乐章谱》既用唐乐三和之法，注曰“如大吕为角，则于大吕均取中吕起调毕曲。太蔟为徵，则于太蔟均取南吕起调毕曲。应钟为羽，则于应钟均取夷则起调毕曲。”然于黄钟为宫无义，又曰“今释奠迎神或只用黄钟为宫一曲叠奏之”云云。案范镇《皇祐新乐图记》曰：“黄钟为角者，夷则为宫。黄钟之角者，姑洗为角。十二律之于五声，皆如此率。而世俗之说乃去之字，谓太蔟曰黄钟商、姑洗曰黄钟角、林钟曰黄钟徵、南吕曰黄钟羽。”其义至明。今因大吕为角而取中吕起调毕曲，太蔟为徵而取南吕起调毕曲，应钟为羽而取夷则起调毕曲，则是大吕之角、太蔟之徵、应钟之羽，而非大吕为角、太蔟为徵、应钟为羽矣。至于黄钟为宫，与黄钟之宫则同一黄钟，无以异也。朋来既用唐制，而又云只用黄钟为宫一曲叠奏，岂非于意亦有所未安，而为骑墙之论欤？他如《后录》中以尧作十五弦之瑟见于《吕览》者误为《乐记》，记忆偶疏，又其小疵矣。然乐律一门，诸家着录，琴谱为多。瑟则东晋之初尚有桓伊歌曹植诗事，以后传者寥寥。钱起所云“二十五弦弹夜月”，李商隐所云“锦瑟无端五十弦”者，特诗人寄兴之词，不必真有其事。古调之仅存者不过郊庙朝会，备雅乐之一种而已。朋来于旧谱放佚之馀，为之考订蒐罗，尚存梗概。史称其通晓乐律，尤善鼓瑟，则与儒者不通宫调而坐谈乐理者，尚属有殊。存之亦足见古乐之遗也。

    △《韶舞九成乐补》·一卷（永乐大典本）

    元余载撰。载始末无考。惟据其进书原《序》，自称“三山布衣、前福州路儒学录”。又据其门人新安朱模《进乐通韶舞补略序》，知为仁宗天历中人，其字曰大车。以养亲辞官，笃行授徒，自甘嘉遯而已。是编《文渊阁书目》着录，世无传本。惟《永乐大典》所载，篇帙犹完。首为《九德之歌音图》，次为《九德之歌义图》，次为《九磬之舞缀兆图》，次为《九磬之舞采章图》。其歌图以五声五言相配，所谓平浊、平清者，与沈约、徐景安分平声为上下以配五音者异（沈约说见米芾《书史》，徐景安说见王应麟《困学记闻》）。与司马光刘鉴诸家以喉舌唇齿牙配五音者亦异。又以六律、六吕分用，与诸家乐书以十二律相生之次为旋宫七音之次者尤截然不同。然考周德清《中原音韵》所谓阴平、阳平，即载平浊、平清之说也。《周官·大司乐》郑氏《注》所谓“六律合阳声，六吕合阴声”，即载律吕分用之说也。则虽自出新意，亦不为无据。至于准大衍之数以制《河图》，准太乙行九宫法以造《洛书》，皆起于陈抟以后。后夔典乐之日，实无是文。载所定舞图，皆根《河》、《洛》以起数，尤不免附会牵合。然数不外于奇偶，奇偶不外于阴阳，《易》道广大，事事可通，亦未始不言之成理。束晳之补《六诗》，皮日休之补《九夏》，不必其定合于古，要犹存古义于万一，终胜于侧调幺弦，导欲增悲者也。则载是书亦不妨存备一说矣。其书屡经传写，讹误宏多。如《音图》第八章“至哉坤元”之“坤”字，据后《义图》应在第八格，而旧本误在第七格。又如《缀兆始成图》中层左右皆阙两位，据舞用八佾当得六十四人，不应再成以下皆六十四，始成乃止六十。且复缀即始成之位次，后《采章图》内亦各有黄衣二人之位。则此图之佚脱显然。今并校正，使复其旧。其以朱圈、墨圈记舞人之位者，亦间有淆乱，并釐正焉。

    △《律吕成书》·二卷（永乐大典本）

    元刘瑾撰。瑾有《诗集传通释》，已着录。是书以候气为定律之本，因而推其方圆周径，以考求其积分。盖瑾之学笃信宋儒，故其注《诗》守朱子之说，不逾尺寸。其论乐守蔡氏、彭氏之说，亦不逾尺寸也。考《管子·地员篇》，称呼音中徵、中羽之数，及《吕氏春秋·古乐篇》称伶伦先制黄钟之宫，次制十有二筒，咸不言候气。至司马彪《续汉书志》，始载其法。相传为出于京房，然别无显证。《隋书》载后齐信都芳能以管候气，仰观云色，尝与人对语，即指天曰：“孟春之气至矣。”人往验管而飞灰果应。又称毛爽草《候气法》，述汉魏以来律尺稍长灰悉不飞。其先人柄诚与其兄喜所为律管，皆飞灰有徵应。然后来均不用其法。蔡邕有言，古之为钟律者，以耳齐其声。后人不能，假器以定其度。以度量者可以文载口传，然不如耳治之明决也。然则舍可辨之音而求诸杳茫不可知之气，斯亦末矣。至蔡氏《律吕新书》推衍旧文，仍言候气。其数以径一围三立度，为算颇疏。彭氏觉其未合，改用祖冲之径七围二十二之率。然稽诸《隋志》，此犹约率，非密率也。瑾合二家之书，反覆推衍以成是编，较诸古人之神解，诚未必窥其精微。然宋儒论乐，所见不过如此。有元一代，着述尤稀，此书犹不甚支离者。长短兼存，以资考订，固亦不妨姑备一说云尔。

    △《苑洛志乐》·二十卷（浙江汪启淑家藏本）

    明韩邦奇撰。邦奇有《易学启蒙意见》，已着录。是书首取《律吕新书》为之直解，凡二卷。前有邦奇《自序》，后有卫淮《序》。第三卷以下乃为邦奇所自着。其于律吕之原，较明人所得为密，而亦不免于好奇。如《云门》、《咸池》、《大章》、《大夏》、《大韶》、《大濩》六乐，名虽见于《周官》，而音调节奏，汉以来无能传者。邦奇乃各为之谱，谓黄帝以士德王，《云门》象天用火，起黄钟之徵，以生为用，则林钟也；《咸池》象地用水，起大吕之羽，以土所克为用，则无射也；《大章》、《大韶》皆起于黄钟；夏以金德王，林钟属金，商声，故《大夏》用林钟之商南吕，以南吕起声；商以水德王，应钟属水，羽声，故《大濩》用应钟之羽夷则，用夷则起声。今考旋宫之法，林钟一律以黄钟之徵为火，以仲吕之商为金。若以月律论之，则是六月之律而非金也。故邦奇于《大夏》下自注云：“相缘如此，还用夷则为是。”则夷则为七月之律属金，与《大濩》用应钟为十月之律属水者一例矣。然则林钟、夷则不已两岐其说乎？又谓：“《大司乐》圜钟为宫，以南吕起声，一变在姑洗，至六变在圜钟，故云‘若乐六变，则天神皆降’。函钟为宫，以应钟起声，一变在蕤宾，至八变在函钟，故云‘若乐八变，则地祇皆出’。黄钟为宫，以南吕起声，一变在姑洗，至九变在黄钟，故云‘若乐九变，则人鬼可得而礼’。”今考《左氏传》谓“五降之后不容弹矣”，则宫、徵、商、羽、角五声也。《前汉书·礼乐志》曰“八音七始”，则宫、徵、商、羽、角、变宫、变徵七声也。凡谱声者率不越此二端。此书圜钟为宫，初奏以黄钟之羽南吕起声，顺生至黄钟收宫，凡得十声。次奏用林钟之羽姑洗起声，而姑洗实为前奏黄钟之角，所谓用宫逐羽而清角生也。函钟为宫，用太蔟之羽应钟起声，顺生至本宫太蔟，又顺生徵、商二律，复自商逆转徵、宫二律收宫，凡得十四声。商不顺生羽而逆转为徵，所谓引商刻羽而流徵成也。黄钟为宫，凡阳律之奏用宫逐羽，阴吕之奏引商刻羽，是以十声与十四声各五奏也。至谓周乐皆以羽起声，本于《咸池》，而于黄钟为宫，起南吕，则用黄钟本宫之羽；函钟为宫，起应钟，应钟为太蔟之羽，太蔟为林钟之徵，则又用徵之羽矣；圜钟为宫，起南吕，南吕为黄钟之羽，黄钟为圜钟之羽，则又用羽之羽矣。同一用羽起声，而所用之法又岐而为三。推其意，不过误解《周礼》“八变”、“九变”之文。以函钟为宫当在初奏之第九声，方与“八变”合，即不得不以应钟为第一声，而应钟非函钟之羽也。以圜钟为宫当在初奏之第七声，方与“六变”合，即不得不以南吕为第一声，而南吕非圜钟之羽也。即又不得不谓应钟为羽之羽，南吕为徵之羽矣。由杜撰而迁就，由迁就而支离，此数卷最为偏驳。其他若谓凡律空围九分，无大小之异，其九分为九方分；蕤宾损一下生大吕，优于益一上生大吕。以黄钟至夹钟四清声为可废，以夷则至应钟四律围径不当递减，虽其说多本前人，然决择颇允。又若考定度量、权衡、乐器、乐舞、乐曲之类，皆能本经据史，具见学术，与不知而妄作者究有迳庭。史称邦奇性嗜学，自诸经、子史及天文、地理、乐律、术数、兵法之书，无不通究，所撰《志乐》尤为世所珍，亦有以焉。末有嘉靖二十八年其门人杨继盛《序》。据继盛自作《年谱》，盖尝学乐于邦奇。所云夜梦虞舜击钟定律之事，颇为荒渺。然继盛非妄语者，亦足见其师弟覃精是事，寤寐不忘矣。

    △《钟律通考》·六卷（浙江范懋柱家天一阁藏本）

    明倪复撰。复有《诗传纂义》，已着录。是书凡二十七章，始于《黄钟本原》，终于《风雅十二诗图谱》。其中或标卷目，或不标卷目。疑传写者有所佚脱，非其旧也。卷首有嘉靖丙戌张邦奇《序》，谓其本之《仪礼》经传，参之西山蔡氏之说，历考古今制度，辨正百家之得失，以求合乎声气之元。今考是书，大端不失古法。其中如《吕氏春秋》黄钟三寸九分，与历代律书九寸之说不合。是书则谓三寸者，三三九寸也；九分者，九方分也。后何瑭及郑世子载堉皆用是说。至于“五声”，“二变”，明有《国语》伶州鸠之说可证。而是书乃谓宫属君，周加变宫，因诛纣也；徵属事，周加变徵，示革商之旧政也：殊杜撰无稽。又所载《六十调图》，若黄钟五调以无射为商、夷则为角、仲吕为徵、夹钟为羽之故，同时韩邦奇于蔡氏旧图疏解甚详，而此书乃竟不之及，尤不免于漏略。然其中亦颇有可采者。如《左氏传》“中声以降，五降之后不容弹矣”，蔡元定谓“五声之后二变不容为调”，朱子谓“蕤宾以下不可为宫”，是书则谓朱子之说与《礼记》所云旋相为宫似有未合，故特从元定。又若黄钟生十一律，倍其实，四其实，三其法，及角音六十四，生变宫、变徵，类能并列朱、蔡异同之法，参互详审，颇为不苟，亦可谓勤于此事者矣。

    △《乐律全书》·四十二卷（浙江巡抚采进本）

    明朱载堉撰。载堉，郑恭王厚焥世子也。是书万历间尝进于朝。《明史·艺文志》作四十卷。今考此本所载，凡书十一种。惟《律吕精义》内、外篇各十卷、《律学新说》四卷、《乡饮诗乐谱》六卷，皆有卷数。其《乐学新说》、《算学新说》、《操缦古乐谱》、《六代小舞谱》、《八佾缀兆图》、《灵星小舞谱》、《旋宫合乐谱》七种，则皆不分卷。与《艺文志》所载不符，疑史误也。载堉究心律数，积毕生之力以成是书。卷帙颇为浩博，而大旨则尽于《律吕精义》一书。其说谓度本起于黄钟之长。就此黄钟而均分为十寸，寸十分，命曰一尺，当横黍百粒，是为度尺。若以此黄钟分为八寸一分，寸九分，凡八十一分，当纵黍八十一粒，是为律尺。又横黍百粒，纵黍八十一粒，当斜黍九十粒，是黄钟之长。以横黍尺度之，则为一尺，寸十分，凡百分。以纵黍尺度之，则为八寸一分，寸九分，凡八十一分。以斜黍尺度之，则为九寸，寸十分，凡九十分也。其十二律长短之数则据《栗氏》“为量，内方尺而圜其外”之文，谓圆径即方斜，命黄钟正律为一尺，用句股求弦术，得弦为蕤宾倍律。盖黄正为句股，则蕤倍为弦。蕤正为句股，则黄正为弦。黄、蕤二律互为句股也。其生南吕应钟诸律，非句股所能御，盖本于诸乘方比例相求之法。载堉云句股术者，饰词也。律管长短由于尺有大小。其云黄钟九寸者，盖算术设率如此。亦犹郑康成注十二律分、寸、釐、毫、丝之数，破一寸以为十分，乃审度之正法，太史公约十为九，则欲其便于损益而为假设之权制也。或者诃其以一尺为黄钟，与九寸之文相反，可谓不达其意矣。仲吕反生黄钟，自何承天、刘焯、胡瑗皆有是说。蔡氏论之，以为惟黄钟一律成律，他十一律皆不成律。不知律生于声，不生于数，吹之而声应，则成律矣。若迁就其声以就数，则五音且不和矣，尚得谓之律耶？又或者以其开方乘除有不尽之数为病。夫理之当用开方乘除而数有畸零者，虽秒忽不尽何害？假令句股求弦，而句方、股方相并以平方开之不尽，亦将谓之不成弦耶？此不知算术者也。是书所论横黍百粒当纵黍八十一粒之尺度及半黄钟不与黄钟应而半太蔟与黄钟应之说，皆精微之论。圣祖仁皇帝《律吕正义》一书备采其说，不可以其与蔡氏有异同而置之也。至其十二律相生之法，以黄钟正律一尺为第一率，倍黄钟二尺为第十三率，则蕤宾倍律为第七率，故仲吕可以返生黄钟。左旋、右旋，皆可径求次律，即诸乘方用连比例相求之法也。试列十三率明之。以真数一为首率，即第一率。方边二为二率。平方四为三率。立方八为四率。三乘方十六为五率。四... -->>
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