第四章 数学学科

物的真正本质所确立的连结中进行，并完全只关心所涉及的理论的逻辑性质。

    假如我们认为数学自身就是一种目标，而非是对工程师的一种技术训练，那么保持其推理的纯粹性与严格性就是非常可取的。因而，我们应该让那些已充分了解其相对容易的部分的人，从已作为自明之理而得到他们同意的命题，回到先前作为前提出现的东西可以从中演绎出来的一些越来越基本的原理。我们应该教导他们的是，许多命题对未经训练的心灵而言似乎是自明的，但在近距离的审查之下仍被表明是错误的；无限理论很容易阐明这一点。通过这种方法，他们将被引导着去对最先的原理作一种怀疑式的探究，即考察整个推理大厦建立于其上的基础，或者说考察————作一个也许更恰当的比喻————扩展的树枝由之长出的树干。在这个阶段，如果重新学习数学的基础部分，且不再只问一个特定的命题是否为真，也要问它是如何由中心逻辑原理演绎出来的，那将是合适的。现在我们能够准确并有把握地回答这种性质的问题了，而如果放在以前，这些问题完全不可能得到回答；并且，在这种回答所依赖的推理链条中，全部数学门类之间的那种统一性最终也将展现自身。

    在绝大多数的数学课本中，完全缺少一种方法上的统一性以及对中心论题的一种系统的展开。不同种类的命题通过任意一种被认为最容易理解的方法而得到证明，而且大量的证明空间被给予了对主要论证不起一点作用的单纯求知欲。但在最伟大的作品中，统一性和必然性是在一出戏剧的展开中被人感觉到的；在前提中，一个主题被提出来供人思考，而且就对其性质的把握而言，在随后的每一个步骤中，我们都会取得某种明确的进步。对体系的爱，或者说，对相互联系的爱，也许是知识冲动的最秘密的本质；这种爱能够在数学中发现自由的空间，而在其他地方是发现不了的。感受到这种冲动的学习者不可因一连串无意义的例子而产生厌恶，也不可因一些令人开心的怪异之物而分心，但我们必须鼓励他们常常去思考中心原理，去熟悉放在他面前的各种不同主题的结构，去轻松完成更重要的演绎步骤。通过这种方式，一种好的心境就养成了，并且选择性注意力就习惯于先去思考重要和必要的东西。

    当分门别类的数学课程中的每一门都被已看作一个逻辑上的整体以及一种从构成其原理的命题中自然生长出来的东西时，学习者将有能力理解统一整个演绎推理并使其成为一体的基本科学，即符号逻辑。这门学科虽由亚里士多德所开创，然而就其诸多更广泛的发展结果而言，它几乎完全是十九世纪的产物，而且在今天，它实际上还在极快速地成长着。符号逻辑中真实的发现方法，就在于着眼于发现所使用的原理，来分析演绎推理的实际例子；而且，这种分析很可能也是把这门学科介绍给熟悉数学中其他部分的学习者的最好方法。这些原理多半都深入到了我们的推理本能中，从而导致我们完全意识不到我们使用了它们，并且只能通过许多耐心的努力才能使它们暴露出来。但是，当它们最终被发现时，我们看到它们在数目上是很少的，而且是纯数学中一切东西的唯一来源。发现所有数学都不可避免地产生于一个由少量几条基本法则所构成的集合，无限提升了整体所具有的知识上的美；对于那些被当前绝大多数演绎链条的不连续性及不完全性所压制的人，这种发现是带着一种启示所具有的全部势不可挡的力量而到来的；就像随着旅行者沿意大利的一座小山腰向上攀登时而从秋雾中浮现的一座宫殿一样，数学大厦的那些宏伟楼层依其应有的顺序和比例出现了，并且该大厦的每一部分都体现着一种新的完美。

    直到符号逻辑发展到其当前的阶段，数学所依赖的原理才总被设想为是哲学的，并且只有通过哲学家们迄今所使用的那些不确定的、保守的方法才能被发现。只要持有这样的看法，数学似乎就不是独立的，而是依赖于另一门学科；与数学自身的方法相比，这门学科拥有一些完全不同的方法。此外，由于算术、分析学及几何学将会由之演绎出来的那些假定的性质被笼罩在一切传统的形而上学讨论的晦暗之中，建立在这样的可疑的基础上的大厦实际上开始只被看作空中楼阁。就此而言，由于发现真实的原理就如其任何一种推论一样也是数学的一部分，我们已在很大程度上提升了将要获得的理智上的满足。那些不能分享此种满足的学习者不应该拒绝它，因为它会提升我们对人的力量及关于抽象世界的美的知识的尊重。

    哲学家们通常认为，数学背后的逻辑法则就是思维法则，即调节我们头脑运行的法则。这种看法在很大程度上降低了理性的真正的尊贵；它不再是对所有实际的及可能的事物的真正核心和不变本质的研究，相反倒成了对某种或多或少与人相关并受制于我们自身的局限的事物的探究。思考与人无关的东西，发现我们的心灵有能力处理并非由其创造的物质，尤其是认识到美既为内在事物所拥有也为外在事物所拥有，是克服令人恐怖的无力感、脆弱感及身陷诸多不友好力量中间的被放逐感的主要手段，这些感觉极容易因承认几乎无所不能的异己力量而产生。通过展示其令人敬畏的美而让我们甘心于命运的统治，是悲剧的任务；而所谓命运，只是这些力量在文学作品中的拟人化表达。但是，数学把我们带到了离与人相关的东西更远的地方，并进入绝对必然性领域；对于这种领域，不仅实际的世界，而且每一种可能的世界，都要与其相一致。而且，它甚至在这个领域中建立了一个住所，或者说发现了一个永久存在的住所；我们的理想在这个住所中得到了充分的满足，而且我们最好的希望没有遇挫。仅当我们完全理解了我们自己的全部独立性时，我们才能充分认识到数学之美的根本重要性。

    不仅数学独立于我们及我们的思想，而且在另外一种意义上，我们以及由全部现存事物所构成的整个宇宙则又独立于数学。假如我们要正确地理解作为艺术门类之一的数学的地位，对这种纯粹理想的特征的领会是必不可少的。人们先前设想，纯粹理性能在某些方面对实际世界的性质作出判定：至少，几何学曾被认为是处理我们居住于其中的空间的。但我们现在知道，纯数学完全不能对关于实际存在之物的问题发表意见：在某种意义上，理性世界控制事实世界，但绝不创造事实；而且在把结果应用于处在时间和空间中的世界时，其确定性与精确性就将消失在一些近似的东西及作业假说中。在过去，数学思考的对象主要是现象所让人想到的那一种；但是，抽象的想象应该完全摆脱这样的限制。因而，理性与事实之间一定有一种相互授予的自由：理性不能对事实世界发号施令，但是，当理性对美的爱使得一些对象似乎值得人们的思考时，事实亦不能限制理性处理任意一种这样的对象的特权。在这里，像在其他地方一样，我们将从所发现世界的碎片中逐步建立起我们自己的理想，而且到头来难说结果是一种创造，拟或是一种发现。

    在教学中，一种非常可取的做法是，既让学生相信重要原理的准确性，又在所有可能的方式中以拥有最多的美的那一种做到这一点。像传统的阐述方式所表明的那样，对一种证明的真正兴趣并不完全集中在结果上；当这种情况确实发生时，必须把它看作一种缺陷，并且如果可能的话，要对这种缺陷进行纠正，而纠正的方式则在于对证明的步骤进行概括，并让每一个步骤就其自身而言且对其自身而言都变得重要。只用来证明一个结论的论证类似于一个以某种寓意为中心思想的故事，而此种寓意则是人们所要传授的东西：对于美的完善性而言，整体的任何部分都不应该仅仅是一种手段。某种讲究实际的精神，或者说，一种快速取得进步与征服新的领域的愿望，应对数学教学中盛行的那种过分强调结果的行为负责。比较恰当的方式是提出某个题目以供思考；这样的题目，在几何学中是一种拥有若干重要性质的图形，而在分析学中则是一种若加以研究就会给人以启发的函数，如此等等。每当证明仅仅依赖于我们用来定义所要研究的对象的某些标志时，这些标志应该被分离出来加以单独审查；这是因为，在论证中，使用比结论所需更多的前提是一种缺陷：仅仅使用论点由之得到证实的必要的原理，才会产生数学家们所谓的优美。欧几里得的一个优点就在于，他能尽量在不使用平行公理注24的情况下往前推进。这并非如通常所说的那样是因为这条公理本质上是会引起反对的，而是因为在数学中，每一条新的公理都会降低它所产生的定理的一般性，而最高的可能的一般性出现在一切被寻求的东西面前。

    关于数学在其自身范围以外的影响，人们已写下了一些东西；这些东西比在数学自身的固有理想这一主题上的著述还要多。过去，数学对哲学的影响是最显著的，但又是最具多样性的；十七世纪的唯心论与唯理论，以及十八世纪的唯物论和感觉论，似乎都是这种影响的产物。关于数学在未来可能会产生的影响，如果说得很多，那就太性急了；但从一个方面看，似乎很可能出现一种好的结果。针对因道路是艰辛的且目标并非一定是可获得的而放弃理想之追求的那种怀疑论，数学在其自身的范围内就是一个完全的答复。人们老是说：没有绝对真理，而只有意见和私人判断；在观察世界时，我们每一个人都受到其自己的个性、偏好及偏见的制约；不存在我们最终可以通过坚忍和训练而被获准进入的外在真理王国，而只存在我的真理、你的真理以及每一个不同的人的真理。人类勉力尝试的主要目标之一就被这些习惯性想法否决了，而且真诚及对存在之物的无畏承认的至上美德，都从我们的道德视野中消失了。对于这样的怀疑论来说，数学是一种永久的责备，因为在面对怀疑的悲观情绪所拥有的一切武器时，其真理大厦依然是不可动摇且固若金汤的。

    数学对实际生活的影响尽管不应被看作我们的研究动机，但可以用来答复孤独的学生必定始终容易产生的疑问。在一个如此充满罪恶与苦难的世界中，隐居于沉思的修道院并享受虽高贵却必定总是只为少数人所拥有的快乐，不能不等于多少有点自私地拒绝分担某种重担，即正义未能对其起作用的偶然因素所强加于他人身上的重担。我们问，我们任何人有权从当前的罪恶中抽身并让我们的同伴变得无助，而我们自己却过着一种虽艰难和简朴然而就其自身性质来说却显然令人满意的生活吗？当这些问题出现时，真实的答案无疑在于：一些人必须让神圣之火继续存在，或者说，每一代都必须有一些人去保护那萦绕心头且暗示着这么多的努力所指目标的幻想。但是，当这样的答案显得过分冷酷时（有时一定是这样的），当我们被无法对其提供帮助的悲伤场面折磨得几近发疯时，那么我们可以想到，比起在实践中更活跃的同时代人，数学家时常间接地为人类幸福做了更多的事情。科学史充分证明，大量的抽象命题，即使就像在关于二次曲线部分的情形中那样存在两千年却没有对日常生活产生影响，仍然可以在任何时刻被用来在每一个公民的习惯性思想和日常事务中引起一场革命。蒸汽和电————举一些突出的例子————的使用只是因为有了数学才成为可能。在抽象思维的结果中，世界拥有一种资本；迄今为止，为使这个共同的地球富裕起来而对这种资本所进行的使用并没有可发现的限度。经验也没有提供什么方法来判定数学中哪些部分将会被发现是有用的。因此，实用只能是灰心时刻的一种安慰，而非指导我们研究的一个准则。

    对于道德生活的健康化，对于一个时代或一个民族的格调的高贵化，更严谨的美德拥有一种奇特的力量；此种力量超过未被思想渗透和净化过的那些美德的力量。在这些更严谨的美德中，对真理的爱是首要的；而且在数学中，这种爱比在其他地方更可以为变弱的信念找到鼓励。每一门重要的学科不仅自身就是一种目标，而且是创造并支撑一种高尚的心灵习性的手段。在整个数学的教与学中，我们都应该牢记这样的目的。