卷十八

    贾魏公为相日(1)，有方士姓许，对人未尝称名，无贵贱皆称“我”，时人谓之“许我”。言谈颇有可采，然傲诞，视公卿蔑如也(2)。公欲见，使人邀召数四，卒不至。又使门人苦邀致之，许骑驴，径欲造丞相厅事。门吏止之，不可，吏曰：“此丞相厅门，虽丞郎亦须下。”许曰：“我无所求于丞相，丞相召我来，若如此，但须我去耳。”不下驴而去。门吏急追之，不还，以白丞相。魏公又使人谢而召之，终不至，公叹曰：“许市井人耳，惟其无所求于人，尚不可以势屈，况其以道义自任者乎？”

    【注释】

    (1)贾魏公：即贾昌朝，字子明，北宋宰相，封魏国公。本条元刻本原抹去，今以汲古阁本为底本补录。

    (2)蔑如：轻视的样子。

    【译文】

    贾昌朝担任丞相的时候，有一个方士姓许，对人从来不说自己的姓名，无论贵贱都自称“我”，时人称他“许我”。他的言谈中颇有可取之处，但是性格高傲怪诞，看不起权贵。贾昌朝想见他，多次派人邀请他，却始终都没来。又派门人苦苦邀他来，一天许我骑着驴，径自要闯进丞相府厅室。守门人阻止了他，说：“这是丞相府的厅门，即使是寺丞、郎官也必须下马。”许我说：“我对丞相别无所求，是丞相请我来的，既然这样，那我只好走了。”也不下驴就走了。守门人赶紧追上去，还是没追回来，就回来禀告丞相。贾昌朝又派人道歉并再次邀请他，最终也没有再来，贾昌朝感叹道：“许我只是一介市井小民，只因为他对别人无所求，尚且不能用权势让他屈服，何况是以道义自任的人呢？”

    造舍之法，谓之《木经》，或云喻皓所撰(1)。凡屋有三分：去声。自梁以上为上分，地以上为中分，阶为下分。凡梁长几何，则配极几何(2)，以为榱等(3)。如梁长八尺，配极三尺五寸，则厅堂法也，此谓之“上分”。楹若干尺(4)，则配堂基若干尺，以为榱等。若楹一丈一尺，则阶基四尺五寸之类，以至承拱、榱桷(5)，皆有定法，谓之“中分”。阶级有峻、平、慢三等，宫中则以御辇为法(6)：凡自下而登，前竿垂尽臂，后竿展尽臂为峻道(7)；荷辇十二人：前二人曰前竿，次二人曰前绦(8)，又次曰前胁，后二人曰后胁(9)，又后曰后绦，末后曰后竿。辇前队长一人，曰传倡，后一人，曰报赛。前竿平肘，后竿平肩，为慢道；前竿垂手，后竿平肩，为平道：此之谓“下分”。其书三卷。近岁土木之工，益为严善，旧《木经》多不用，未有人重为之，亦良工之一业也。

    【注释】

    (1)喻皓：浙东人，五代末宋初工匠，擅长造塔，相传著有《木经》。

    (2)极：这里指房梁到屋顶最高点的距离。

    (3)榱（cuī）等：等级，比例。

    (4)楹（yíng）：厅堂前部的柱子。

    (5)承拱：即斗拱，古代建筑上柱头与梁架之间的承重部件。榱桷（jué）：椽子，屋面基层承接屋瓦的部件。

    (6)御辇（niǎn）：皇帝的坐轿。

    (7)展：这里是举起的意思。

    (8)绦（tāo）：用丝编成的带子。

    (9)二：原作“一”，据弘治本、崇祯本改。

    【译文】

    关于营造屋舍的技术，有一本书叫作《木经》，有人说是喻皓写的。一栋屋子分成三部分：从房梁往上算是“上分”，从地面往上算是“中分”，台阶是“下分”。确定了房梁长多少，那么房梁到屋顶的高度就要相应地按比例搭配好。比如房梁长八尺，那么适配的屋脊高度就是三尺五寸，这是造厅堂的规格，这称为“上分”。确定了屋柱高多少，那么堂基的尺寸也要相应地按比例搭配好。比如屋柱高一丈一尺，那么对应台阶的宽度就是四尺五寸之类，以至于斗拱、椽子等等，都有规定的尺寸，这称为“中分”。台阶有峻、平、慢三等，皇宫中则以御辇作为标准：抬着御辇从下往上登阶，前竿下垂尽手臂之长，后竿上举也尽手臂之长，这样才能保持御辇平衡的台阶称为“峻道”；抬辇一共十二人：前二人称为“前竿”，次二人称为“前绦”，又次二人称为“前胁”，后二人称为“后胁”，又后二人称为“后绦”，最后二人称为“后竿”。辇前有队长一人，称为“传倡”，辇后有一人，称为“报赛”。前竿与肘部相平，后竿与肩部相平，这样就能保持御辇平衡的台阶称为“慢道”；前竿下垂尽手臂之长，后竿与肩部相平，这样就能保持御辇平衡的台阶称为“平道”：这些称为“下分”。这本书一共三卷。近年来，土木工程技术更加严谨完善了，以前的《木经》多已不用，但是还没有人重新编写新的《木经》，这也是优秀的木工应该做的一项事业。

    审方面势(1)，覆量高深、远近，算家谓之“叀术”(2)，叀文象形，如绳木所用墨斗也(3)。求星辰之行，步气朔消长，谓之“缀术”(4)。谓不可以形察，但以算数缀之而已。北齐祖亘有《缀术》二卷(5)。

    【注释】

    (1)审方面势：推算方位和地形。

    (2)算：原作“等”，据弘治本、津逮本等改。叀（wèi）术：爱庐本一作“軎术”，指测定星体在天球上各个时刻的经纬度和地面的高低远近。

    (3)绳木：在木头上画线以取料。墨斗：木匠用来打直线的器具。

    (4)缀术：如象数门中所谈，在测量行星运行时，会遇到白昼、阴雨等情况而无法准确观测，所缺的数据就要通过数学运算来推导，并需要进行误差修正，对数据进行“补缀”，所以称为“缀术”。

    (5)祖亘：即祖暅（gèng），字景烁，祖冲之之子，曾参与修订历法，并自造浑象，还曾提出准确计算球体体积的公式。

    【译文】

    推算方位和地形，测量高低、远近，数学家称这些为“叀术”，叀是象形字，像在木头上画线时使用的墨斗。计算星辰的运行、节气朔望的变化，这些称为“缀术”。意思是说不可以从外形考察，只能用数学方法推演而已。北齐的祖亘著有《缀术》二卷。

    算术求积尺之法(1)，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类(2)，物形备矣，独未有“隙积”一术。古法：凡算方积之物(3)，有“立方”(4)，谓六幕皆方者(5)，其法再自乘则得之。有“堑堵”(6)，谓如土墙者，两边杀、两头齐(7)，其法并上下广折半以为之广，以直高乘之；又以直高为句，以上广减下广，余者半之为股(8)，句股求弦(9)，以为斜高。有“刍童”，谓如覆斗者，四面皆杀，其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位法，以高乘之，六而一(10)。“隙积”者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类(11)，虽似覆斗(12)，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用“刍童法”求之，常失于数少。余思而得之，用“刍童法”为上行、下行，别列下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上行(13)。假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次，先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以“刍童法”求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二(14)；又倍下长得二十四(15)，并入上长，得二十六(16)，以下广乘之，得三百一十二，并二位得三百四十四(17)，以高乘之，得三千七百八十四(18)。重列下广十二，以上广减之余十，以高乘之，得一百一十，并入上行，得三千八百九十四，六而一，得六百四十九，此为罂数也。“刍童”求见实方之积，“隙积”求见合角不尽，益出羡积也。

    【注释】

    (1)积尺：这里指体积。

    (2)刍萌：长方楔，底面为矩形，两个侧面为梯形。刍童：上下底都是矩形的棱台体。方池：上下底都是正方形的棱台体。冥谷：形状与刍童相同。堑堵：底面为等腰三角形的直三棱柱。鳖臑（biē nào）：四个面均为直角三角形的三棱锥。圆锥：正圆锥体。阳马：底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥。这些多面体的体积计算在《九章算术·商功》中均有论述。

    (3)方积之物：以平面作为界面的实体。

    (4)立方：即正方体。

    (5)六幕：六个面。

    (6)堑堵：这里指底面为等腰梯形的棱柱，与上文“堑堵”不同。胡道静等疑“堵”字为衍文。

    (7)杀：倾斜。

    (8)半之：二字原缺，从张文虎《舒艺室杂著》甲编卷下说补。

    (9)句股求弦：这里是指运用勾股定理求直角三角形斜边的方法，以直角三角形的两个直角边互为勾（a）、股（b），斜边为弦（c），则有a2+b2=c2。句，通“勾”，下文亦作“勾”。求，原作“乘”，从张文虎说改。

    (10)一：原作“二”，据下文运算的数理公式改。设刍童的上长为a，宽为b，下长为c，下宽为d，高为h，则刍童体积

    (11)层坛：分层而筑土坛。罂：酒坛一类的容器。这里的“隙积”法，处理的实际上是高阶等差级数求和的问题。

    (12)似：原作“以”，据爱庐本改。

    (13)“余思”七句：这里是指在原来刍童法公式基础上，加上因边长亏缺和中间空隙而造成的差量，其体积

    (14)三十二：原作“二十二”，据上面公式计算，当为三十二。

    (15)二十四：原作“十六”，据公式计算，当为二十四。

    (16)二十六：原作“四十六”，据公式计算，当为二十六。

    (17)并二位：原作“并二倍”，根据公式，此为两项求和，没有乘二的部分，当为二位。

    (18)三千七百八十四：原作“二千七百八十四”，据公式计算，当为三千七百八十四。

    【译文】

    算术求体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，各种形体都具备了，唯独没有“隙积”这种算法。古法：凡是计算立体之物，有“立方”，指六个面都是正方形的物体，其算法是边长求立方就算出来了。有“堑堵”，指像土墙那样的物体，两边斜、两头平，其算法是底面的上底加下底的和，乘以二分之一底面的宽，再乘以柱体的高；或者以柱体的高为“勾”，用底面的上底减下底的差，乘以二分之一为“股”，用勾股法求“弦”就能得出斜高。有“刍童”，指倒扣着的斗那样的物体，四面都是倾斜的，其算法是用上长的二倍加下长，再乘以上宽为第一项；下长的二倍加上长，再乘以下宽为第二项；把这两项相加，再乘以高除以六。所谓的“隙积”，是指堆积起来有空隙的物体，比如累棋、层坛及酒家堆积酒坛之类的，虽然形似倒扣的斗，四面都是斜的，但是因为边缘上有亏缺、中间有空隙，所以用“刍童法”计算时，往往比实际的数要小。我思考后找到了办法，先按“刍童法”计算其上行、下行，再单列下底宽减上底宽，乘以高除以六，再加上前面的项就是实际体积。假设堆积酒坛：最上一层纵横各二坛，最下一层各十二坛，每层比上一层少一个，先从最上层的两只数起，数到十二，正好是十一层。用“刍童法”计算，最上一层长乘二得四，加上最下一层长（十二）得十六，乘以最上一层的宽（二）得三十二；再把最下一层长乘二得二十四，加上最上一层长（二）得二十六，乘以最下一层的宽（十二）得三百一十二；把这两项加起来得三百四十四，乘以高（十一）得三千七百八十四。另外计算最下一层宽十二，减去最上一层宽（二）余十，乘以高（十一）得一百一十，加上前面算的那项，得三千八百九十四，再除以六，得六百四十九，这就是酒坛的数目了。“刍童”法求出的是实方体积，“隙积”法求出的截去边角，就是“刍童”法没算进去的多余部分。

    履亩之法，方圆曲直尽矣，未有“会圆”之术(1)。凡圆田，既能拆之(2)，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。余别为“拆会”之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径(3)，以所割之数自乘，退一位倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之数，则再割之数也。假令有圆田，径十步，欲割二步，以半径为弦，五步自乘得二十五，又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九，用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺(4)，以圆径除。今圆径十，已是盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法，如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之。此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

    【注释】

    (1)“会圆”之术：这里计算的是已知圆的直径和弓形的高，求弓形弧长的方法。据现代证明，沈括的方法在圆心角不超过45°时，所得弧长的相对误差小于20％。

    (2)拆：原作“折”，据崇祯本改。下一“拆”字同此。拆圆法的理论由三国时刘徽提出，假设当圆的弓形趋向于无限小时，弓形的弧长近似等于它的弦长。但是当弓形等于半圆时，其误差就会很大。因为圆周率为π≈3.14，所以每段弧长的实际误差最大应该是倍，两段半圆形的弧长加起来就是三倍。

    (3)直径：此处是指所割弓形的弦长。设圆的直径为d，弓形高为h，则得其弦长，进而计算弓形的弧长，这个公式是根据《九章算术》所载弓形面积的近似公式求得的。

    (4)退上一位：位，原作“倍”，与数理颇不合。退上一位就是指小数点前移一位，因为假设圆的直径是10，所以根据公式，恰好分母是10，即退上一位，“倍”字无据。古代一步等于五尺，所以0.8步即4尺。

    【译文】

    测量田亩的算法，方圆曲直都能计算，但是没有求“会圆”的方法。凡是圆形的田，既然能分开它，就应该能使它复原为圆。古法中只用平分一个圆的方法拆分计算弧长，这种算法有时误差会达到三倍。我另外推导了“拆会”算法，设有圆形田地，用半径作为直角三角形的斜边“弦”，用这个半径减去所割圆之弓形的高，得到的差为直角三角形的一条直角边“股”，把“弦”和“股”平方后相减，再开方得到另一条直角边“勾”的长，再乘以二，就可得到所割圆的弓形的弦长，把所割圆之弓形的高求平方再乘二，然后除以圆的直径所得的商与前面的弦长相加，就是所割弧形的弧长。再割一块的算法也是这样，总弧长减去已割部分的弧长，就是再割田的弧长。假设有一块圆田，直径十步，要求高两步的弧长，就以半径为“弦”，五步平方得二十五，再以半径减去所割的二步，剩下三步为“股”，求平方得九，两者相减得十六，开平方得四步为“勾”，乘以二就是所割的弦长。用所割的高二步平方得四，乘二得八，除以直径，退一位就是四尺。现在圆的直径是十，已是整数，无可除，只用四尺加上弦长，就是为所割之孤的弧长，所以得到弧长是八步四尺。再割一块也是这么算，如果圆的直径是二十步来求弧长，就应当折半，再用圆径来除。这两种算法都是非常精微的算法，古书上没有提到，随笔记录在这里。

    蹙融(1)，或谓之“蹙戎”，《汉书》谓之“格五”，虽止用数棋，共行一道，亦有能否。徐德占善移(2)，遂至无敌。其法己常欲有余裕，而致敌人于险。虽知其术止如是，然卒莫能胜之。

    【注释】

    (1)蹙（cù）融：古代一种棋类游戏，类似于后来的跳棋。

    (2)徐德占：即徐禧（？——1082），字德占，洪州分宁（今江西修水）人。王安石变法时，以布衣献策，得到任用。后战死，卒谥忠愍。《宋史》卷三三四有传。

    【译文】

    蹙融，或者称为“蹙戎”，《汉书》称为“格五”，虽然只用几枚棋子，在一条棋道中争行，但也有技艺高下之分。徐德占擅长移步争道，以至于没有敌手。他的下法是让自己常有余地，而把敌人置于险境。即使知道他的战术是这样的，但最终还是战胜不了他。

    予伯兄善射，自能为弓。其弓有六善：一者往体少而劲(1)，二者和而有力，三者久射力不屈，四者寒暑力一，五者弦声清实，六者一张便正。凡弓往体少则易张而寿，但患其不劲，欲其劲者，妙在治筋。凡筋生长一尺，干则减半，以胶汤濡而梳之，复长一尺，然后用，则筋力已尽，无复伸弛。又揉其材令仰(2)，然后傅角与筋，此两法所以为筋也。凡弓节短则和而虚(3)，“虚”谓挽过吻则无力(4)。节长则健而柱，“柱”谓挽过吻则木强而不来，“节”谓把梢裨木(5)，长则柱，短则虚。节得中则和而有力，仍弦声清实。凡弓初射与天寒，则劲强而难挽；射久、天暑，则弱而不胜矢，此胶之为病也。凡胶欲薄而筋力尽，强弱任筋而不任胶，此所以射久力不屈，寒暑力一也。弓所以为正者，材也。相材之法视其理，其理不因矫揉而直，中绳则张而不跛，此弓人之所当知也。

    【注释】

    (1)往体：即弓体。指弓体的外挠部分，与“来体”相对。来体指弓体的内向部分。

    (2)仰：指与开弓相反的方向。

    (3)弓节：指弓体中间用硬木加强的把手部位。

    (4)吻：拉弓拉满时，弓弦的位置应该在弓手口部，这里表示拉满弓。

    (5)裨（bì）木：衬木。

    【译文】

    我大哥擅长射箭，还能自己造弓。他的弓有六样好处：一是弓体外挠的部分少而刚劲，二是容易拉开而弹力大，三是长时间射击后力道不减，四是无论寒暑弓力保持一致，五是弓弦的声音清脆而坚实，六是张弓时弓体不偏扭。一般弓的外挠部分少就容易张开并且寿命长，但是就怕不够强劲，想让弓强劲，绝招在处理筋上。一尺长的生筋，干了就会减半，用胶汤浸泡并揉搓，重新恢复为一尺长度，然后再用，这时筋力已尽，不会再伸长松弛了。再把木材向弓的反方向弯曲，然后缠上角和筋，这两种办法是用来处理筋的。一般弓的弓节短小就容易拉开，但是弹力弱，“虚”是指弓拉满时，显得没有力量。弓节长的话，弓就坚硬，但是难以拉开，“柱”是指弓拉满时，显得弓臂强硬而难以弯曲，“节”是指弓把上的衬木，长了就会坚硬，短了就会力虚。弓节长短适当，则既容易拉开又有弹力，而且弦声清脆坚实。一般弓第一次射或是天冷的时候，弓就硬而难以拉开；射的时间长了或者天热的时候，弓力就会减弱而不能发箭，这是胶的问题。一般胶要涂得薄，这样筋力才能发挥，弓的强弱靠的是筋而不是胶，这样就能使弓射得时间长了力量不减，寒暑天力道保持一致。张弓时弓体不偏扭，靠的是木材好。判断木材的标准是看它的纹理，如果纹理不经校正就是直的，那么开弓时就不会偏，这些都是造弓师傅应该知道的。

    小说：唐僧一行曾算棋局都数(1)，凡若干局尽之。余尝思之，此固易耳，但数多，非世间名数可能言之，今略举大数。凡方二路，用四子，可变八十一局(2)，方三路，用九子，可变一万九千六百八十三局。方四路，用十六子，可变四千三百四万六千七百二十一局。方五路，用二十五子，可变八千四百七十二亿八千八百六十万九千四百四十三局。古法：十万为亿，十亿为兆，万兆为秭。算家以万万为亿(3)，万万亿为兆，万万兆为垓。今且以算家数计之。方六路，用三十六子，可变十五兆九十四万六千三百五十二亿八千二百三万一千九百二十六局。方七路以上，数多无名可纪。尽三百六十一路，大约连书万字四十三(4)，即是局之大数。万字四十三，最下万字是万局，第二是万万局，第三是万亿局，第四是亿兆局，第五是万兆局，第六是万万兆，谓之一垓，第七是万垓局(5)，第八是万万垓，第九是万亿垓(6)。此外无名可纪，但五十二次万倍乘之，即是都大数，零中数不与。其法：初一路可变三局，一黑、一白、一空。自后不以横直，但增一子，即三因之。凡三百六十一增，皆三因之，即是都局数。又法：先计循边一行为“法”，凡十九路，得十一亿六千二百二十六万一千四百六十七局(7)。凡加一行，即以“法”累乘之，乘终十九行，亦得上数。又法：以自“法”相乘，得一百三十五兆八百五十一万七千一百七十四亿四千八百二十八万七千三百三十四局，此是两行，凡三十八路变得此数也。下位副置之，以下乘上，又以下乘下，置为上位；又副置之，以下乘上，以下乘下；加一“法”，亦得上数(8)。有数法可求，唯此法最径捷。只五次乘，便尽三百六十一路。千变万化，不出此数，棋之局尽矣。

    【注释】

    (1)一行（683——727）：原名张遂，唐代和尚，精通天文、历算。都：总，总共。

    (2)八十一局：原作“八千十一局”，误。两路见方，则棋盘有四格，每格有黑、白、空三种可能，四个位置就可能出现34=81种可能性。

    (3)算家：原作“合家”，据弘治本、津逮本等改。

    (4)四十三：原作“五十二”，误。按照沈括的计算方法，361格，每格有3种可能，那么总的可能性是3361=1.72×10172种可能，104为一万，则10172当为一万的43次方。下文“五十二”并误。

    (5)万：字原缺，据文意当填一“万”字。

    (6)万亿垓：原作“万亿万万垓”，据文意，仅增一“万”字不当涨如此多倍。

    (7)十一亿：原作“一十亿”，误。一行19路，就有319种可能，319=1162261467，显然当作十一亿。

    (8)得上数：最后一种计算最便捷，因为用了指数运算的方法。首先计算一行19路，即319种，称为“法”（为了方便，设“法”为x），“法”自乘就是x2，然后乘上一路、乘下一路，即(x2)3=x6，再把这个数字乘两遍，即(x6)3=x18，再乘一遍“法”就是x19，即完成对(319)19=3361的运算。

    【译文】

    小说中记载：唐代和尚一行曾经计算过围棋的棋局总数，共算了若干局穷尽了。我曾经考虑过，这问题其实很容易，但是数目太大，不是世间数字单位能表达的，现在略举大数。二路见方的棋盘，用四子，可变化出八十一种棋局，三路见方的棋盘，用九子，可变化出一万九千六百八十三种棋局。四路见方的棋盘，用十六子，可变化出四千三百零四万六千七百二十一种棋局。五路见方的棋局，用二十五子，可变化出八千四百七十二亿八千八百六十万九千四百四十三种棋局。按照古法：十万为亿，十亿为兆，万兆为秭。算家以万万为亿，万万亿为兆，万万兆为垓。这里姑且用算家的记数法。六路见方的棋盘，用三十六子，可变化出十五兆九十四万六千三百五十二亿八千二百零三万一千九百二十六局。七路见方以上，数目太大无法记录。穷尽三百六十一路的运算，大约连写四十三个万字，就是棋局的大约数字。四十三个万字，最后一个万字是万局，第二个是万万局，第三个是万亿局，第四个是亿兆局，第五个是万兆局，第六个是万万兆局，称为一垓，第七个是万垓局，第八个是万万垓局，第九个是万亿垓局。此外就没有名称可用了，只把万乘五十二次，就是大约的数目了，零头数字不算在内。计算方法是：第一个位置有三种变化，或黑、或白、或空。此后不论纵横，只要增加一子，就乘以三。增加到三百六十一路，每次都乘以三，就是棋局总数。还有一种方法：先计算边上一行的局数，以此作为“法”，一行共有十九路，得十一亿六千二百二十六万一千四百六十七局。只要增加一行，就把“法”累乘一次，这样乘到第十九行，也能得到上面的数字。还有一种方法：先用“法”自乘，得出一百三十五兆八百五十一万七千一百七十四亿四千八百二十八万七千三百三十四种棋局，这是计算了两行，一共三十八路可以变化出的棋局。然后乘积作为乘数，连续自乘两次；即“法”的六次方。再把得出的数字连续自乘两次；即“法”的十八次方。再乘一次“法”，也能得到上面的数字。有多种算法可以计算，只有这种方法最快捷。只要乘五次，就能穷尽三百六十一种变化。千变万化，不超出此数，棋局的总数就穷尽了。

    《西京杂记》云(1)：“汉元帝好蹴踘(2)，以蹴踘为劳，求相类而不劳者，遂为弹棋之戏(3)。”余观弹棋绝不类蹴踘，颇与击踘相近(4)，疑是传写误耳。唐薛嵩好蹴踘(5)，刘钢劝止之曰(6)：“为乐甚众，何必乘危邀顷刻之欢？”此亦“击踘”，《唐书》误述为“蹴踘”。弹棋今人罕为之，有谱一卷，尽唐人所为。其局方二尺，中心高，如覆盂(7)；其巅为小壶，四角微隆起。今大名开元寺佛殿上有一石局，亦唐时物也。李商隐诗曰(8)：“玉作弹棋局，中心最不平。”谓其中高也。白乐天诗：“弹棋局上事，最妙是长斜。”长斜谓抹角斜弹，一发过半局，今谱中具有此法。柳子厚《叙棋》用二十四棋者(9)，即此戏也。《汉书》注云：“两人对局，白、黑子各六枚。”与子厚所记小异。如弈棋，古局用十七道，合二百八十九道，黑白棋各百五十，亦与后世法不同。

    【注释】

    (1)《西京杂记》：晋葛洪撰小说集，多记载西汉逸事，或志怪传说。

    (2)汉元帝：据《西京杂记》卷二，当为汉成帝。蹴踘（cù jū）：古代一种球类游戏，类似于今天的足球。
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