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第一章 数学推理的本性
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Ⅰ
数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。如果这门科学只是在外观上看来是演绎的，那么没有人想去怀疑的、完美的严格性从何而来呢？相反地，如果数学所阐明的一切命题能够依据形式逻辑的规则相互演绎，那么它为什么没有变成庞大的同义反复呢？三段论法不能告诉我们本质上新颖的东西，假使每一事物都来自同一律，那么每一事物都必定能归入其中。这样一来，我们难道将要承认，所有那些充斥许多书中的定理的阐明无非是A即A的转弯抹角的说法？
毋庸置疑，我们能够返回到公理，它们处在所有这些推理的源头。如果我们断定这些推理不能划归为矛盾律，如果我们在其中甚至看到了不具有数学必然性的经验事实，那么我们还有把它们列入先验综合判断的对策。这不是解决困难，而只不过是使之洗炼而已；即使综合判断的本性在我们看来并不神秘，然而矛盾还不会消失，它只是后退了；三段论推理依然不能为给予它的材料添加任何东西；这些材料本身划归为几个公理，我们在结论中不会发现其他东西。
无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
所有这些推理方式，不管它们是否可划归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
Ⅱ
这里要讨论的是老问题；莱布尼茨（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
我将假定数1已被定义，又假定运算x+1意谓把单位1加在已知数x上。
这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
然后我通过等式
（1）1+1＝2； （2）2+1＝3； （3）3+1＝4
定义数2，3和4。
用同样的方式，我通过下述关系定义运算x+2：
（4）x+2＝（x+1）+1。
由于预先假定了这一切，于是我们有
2+1+1=3+1 （定义2），
3+1=4 （定义3），
2+2= （2+1）+1 （定义4），
由此可得 2+2=4 证毕。
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration） ”，他将会对你说：“这是核验（verification） 。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
等式2+2=4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
Ⅲ
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
为了逐渐地习惯于这种完全的严格性————它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
加法的定义。我假定已经定义了运算x+1，即把数1加到已知数x上。
这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
我们现在要定义运算x+a，就是把数a加到已知数x上。
假定我们定义了运算
x+（a-1），
则运算x+a将用等式 x+a＝［x+（a-1）］+1 （1）
来定义。 只有我们知道x+（a-1）是什么，然后我们才能知道x+a是什么，正如我假定过的，从我们知道x+1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2，x+3等等。
这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
加法的特性————结合性。我说
a+（b+c）＝（a+b）+c.
事实上，该定理对c=1而言为真；于是可写出
a+（b+1）＝（a+b）+1，
该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。 假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ+1亦为真。
事实上，设
（a+b）+γ＝a+（b+γ），
由此可得 ［（a+b）+γ］+1＝［a+（b+γ）］+1.
或者根据定义（1） （a+b）+（γ+1）=a+（b+γ+1）＝a+［b+（γ+1）］，
这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ+1为真。 由于对c=1为真，从而我们相继看到，它对c=2，c=3等也是如此。
交换性。1°我说
a+1＝1+a.
该定理显然对a=1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a=γ为真，则它对a＝γ+1也为真；于是，
（γ+1）+1＝（1+γ）+1＝1+（γ+1）；
现在该定理对a＝1为真，因而它对a=2，a=3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。 2°我说
a+b＝b+a.
该定理刚才针对b=1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β+1亦为真。
因此，该命题通过递归而成立。
乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
a×1＝a，（1）
a×b＝［a×（b-1）］+a.（2）
像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
乘法的特性————分配性。我说
（a+b）×c＝（a ×c）+（b×c）.
我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ+1亦为真。
因此，该命题通过递归而证明。
交换性。1°我说
a×1＝1×a.
该定理对a＝1而言是显而易见的。
我们用分析验证，若该定理对a=a为真，则它对a=a+1亦为真。
2°我说
a×b＝b×a.
该定理对于b=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b=β+1亦为真。
Ⅳ
我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
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数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。如果这门科学只是在外观上看来是演绎的，那么没有人想去怀疑的、完美的严格性从何而来呢？相反地，如果数学所阐明的一切命题能够依据形式逻辑的规则相互演绎，那么它为什么没有变成庞大的同义反复呢？三段论法不能告诉我们本质上新颖的东西，假使每一事物都来自同一律，那么每一事物都必定能归入其中。这样一来，我们难道将要承认，所有那些充斥许多书中的定理的阐明无非是A即A的转弯抹角的说法？
毋庸置疑，我们能够返回到公理，它们处在所有这些推理的源头。如果我们断定这些推理不能划归为矛盾律，如果我们在其中甚至看到了不具有数学必然性的经验事实，那么我们还有把它们列入先验综合判断的对策。这不是解决困难，而只不过是使之洗炼而已；即使综合判断的本性在我们看来并不神秘，然而矛盾还不会消失，它只是后退了；三段论推理依然不能为给予它的材料添加任何东西；这些材料本身划归为几个公理，我们在结论中不会发现其他东西。
无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
所有这些推理方式，不管它们是否可划归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
Ⅱ
这里要讨论的是老问题；莱布尼茨（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
我将假定数1已被定义，又假定运算x+1意谓把单位1加在已知数x上。
这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
然后我通过等式
（1）1+1＝2； （2）2+1＝3； （3）3+1＝4
定义数2，3和4。
用同样的方式，我通过下述关系定义运算x+2：
（4）x+2＝（x+1）+1。
由于预先假定了这一切，于是我们有
2+1+1=3+1 （定义2），
3+1=4 （定义3），
2+2= （2+1）+1 （定义4），
由此可得 2+2=4 证毕。
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration） ”，他将会对你说：“这是核验（verification） 。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
等式2+2=4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
Ⅲ
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
为了逐渐地习惯于这种完全的严格性————它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
加法的定义。我假定已经定义了运算x+1，即把数1加到已知数x上。
这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
我们现在要定义运算x+a，就是把数a加到已知数x上。
假定我们定义了运算
x+（a-1），
则运算x+a将用等式 x+a＝［x+（a-1）］+1 （1）
来定义。 只有我们知道x+（a-1）是什么，然后我们才能知道x+a是什么，正如我假定过的，从我们知道x+1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2，x+3等等。
这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
加法的特性————结合性。我说
a+（b+c）＝（a+b）+c.
事实上，该定理对c=1而言为真；于是可写出
a+（b+1）＝（a+b）+1，
该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。 假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ+1亦为真。
事实上，设
（a+b）+γ＝a+（b+γ），
由此可得 ［（a+b）+γ］+1＝［a+（b+γ）］+1.
或者根据定义（1） （a+b）+（γ+1）=a+（b+γ+1）＝a+［b+（γ+1）］，
这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ+1为真。 由于对c=1为真，从而我们相继看到，它对c=2，c=3等也是如此。
交换性。1°我说
a+1＝1+a.
该定理显然对a=1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a=γ为真，则它对a＝γ+1也为真；于是，
（γ+1）+1＝（1+γ）+1＝1+（γ+1）；
现在该定理对a＝1为真，因而它对a=2，a=3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。 2°我说
a+b＝b+a.
该定理刚才针对b=1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β+1亦为真。
因此，该命题通过递归而成立。
乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
a×1＝a，（1）
a×b＝［a×（b-1）］+a.（2）
像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
乘法的特性————分配性。我说
（a+b）×c＝（a ×c）+（b×c）.
我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ+1亦为真。
因此，该命题通过递归而证明。
交换性。1°我说
a×1＝1×a.
该定理对a＝1而言是显而易见的。
我们用分析验证，若该定理对a=a为真，则它对a=a+1亦为真。
2°我说
a×b＝b×a.
该定理对于b=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b=β+1亦为真。
Ⅳ
我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
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