第五章 经验和几何学

    1. 在前文中，我已经花了大量时间力图证明，几何学原理不是实验的事实，尤其是欧几里得的公设不能用实验来证明。

    不管已经给出的理由在我看来是多么具有决定性，我认为还应该强调这一点，因为在这里，虚假的观念在许多人的头脑中是根深蒂固的。

    2. 如果我们用材料制作一个圆圈，测量它的半径和周长，并看到这两个长度之比等于π，那么我们想做什么呢？我们想做我们用来制造这个圆形东西的物质的特性的实验，以及用来制造量尺的物质的特性的实验。

    3. 几何学和天文学。问题也可以以另一种方式提出。如果罗巴契夫斯基几何学是真实的，那么十分遥远的恒星的视差将是有限的；如果黎曼几何学是真实的，视差将是负的。这些似乎是在实验所及的范围内的结果，可以期望，天文观察能使我们在三种几何学之间做出抉择。

    但是，在天文学中，直线只是意味着光线的路径。

    因此，如果发现了负视差，或者证明了一切视差都大于某一极限，那么两条道路向我们敞开着；我们既可以放弃欧几里得几何学，也可以修正光学定律，假定光严格说来不是以直线传播的。

    不用多说，所有的世界都会认为后一种解决办法比较有利。

    因此，欧几里得几何学一点也不害怕新颖的实验。

    4. 某些现象在欧几里得空间是可能的，而在非欧几里得空间则不可能，以致经验在确立这些现象时便与非欧几里得假设直接矛盾，这种见解站得住脚吗？就我的本分而言，我没有思索这样一个能够被提出的问题。按照我的意见，它正好等价于下述问题，其荒谬程度在所有的人看来都是一目了然的：存在着用米和厘米可以表示的长度，但却不能用、英尺和英寸来测量，以致当经验弄清这些长度存在时，它却直接与标度为六英尺的假设相矛盾吗？

    比较仔细地考察一下这个问题吧。我假定，直线在欧几里得空间具有任何两种特性，我将称其为A和B；在非欧几里得空间，它还具有特性A，但不再具有特性B；最后，我假定，在欧几里得空间和非欧几里得空间中，直线只是具有特性A的线。

    果真如此，经验就能够在欧几里得的假设和罗巴契夫斯基的假设之间做出裁决了。结果查明，能用实验检验的一个确定的具体的客体————例如一束光线————具有特性A；我们便可以断定，它是直线，接着我们再研究它是否具有特性B。

    然而，情况并非如此；没有一种特性像特性A那样，能够作为一种绝对标准使我们辨认直线以及区分直线和其他每一种线。

    例如，我们是否可以说：“这样的特性如下：直线是这样一种线，即就是使包含该线的图形能够运动，而该图形各点的相互距离不变，从而这个线上的所有点依然是固定的？”

    事实上，这就是在欧几里得空间或非欧几里得空间中属于直线、且唯一属于直线的特性。但是，我们怎样用实验来弄清它是否属于这个或那个具体对象呢？这就必须测量距离，可是人们怎么会知道，我用材料做成的仪器所测量的任何具体大小实际上表示的是抽象的距离呢？

    我们只不过是把困难向后推了一下而已。

    其实，我刚才说过的特性不仅仅是直线的特性，它是直线和距离二者的特性。为了把它作为绝对标准，我们不仅必须能够确立，除直线和距离之外，它不属于任何线，而且还必须能够确立，它不属于直线之外的线以及不属于距离之外的数量。不过，这是不正确的。

    因此，不可能设想一种能够在欧几里得体系加以诠释、而在罗巴契夫斯基体系不能加以诠释的具体实验，于是我可以得出结论：

    经验在任何时候都不会与欧几里得公设矛盾；另一方面，任何经验永远也不会与罗巴契夫斯基公设矛盾。

    5. 但是，欧几里得（或非欧几里得）几何学永远不能直接与实验矛盾，这还是不够的。它能够与经验一致，只是因为违背了充足理由律和空间相对性原理，这种状况不可能发生吗？

    我愿自我说明一下：考虑任何一个物质系统；一方面，我必须注意这个系统各物体的“状态”（例如，它们的温度，它们的电势等等），另一方面，必须注意它们在空间的位置；而且，在能使我们规定这个位置的数据中，我们将把规定这些物体相对位置的相互距离与规定该系统绝对位置和它在空间的绝对取向的条件区别开来。

    在这个系统中将要发生的现象的规律取决于这些物体的状态和它们的相互距离；但是，因为空间的相对性和无源性，它们将不依赖该系统的绝对位置和取向。

    换句话说，物体在任何时刻的状态和它们的相互距离仅取决于这些同样的物体在初始时刻的状态和它们的相互距离，但是完全不依赖该系统的绝对初始位置和绝对初始取向。简而言之，这就是我所命名的相对性定律。

    迄今，我是作为一个欧几里得几何学家讲话。正如我已经说过的，无论什么经验，都容许按照欧几里得假设进行诠释；但是，它同样容许按照非欧几里得假设进行诠释。好了，我们做了一系列实验；我们根据欧几里得假设诠释它们，而且我们认出，这些如此诠释的实验没有违背这个“相对性定律”。

    我们现在根据非欧几里得假设诠释它们：这总是可能的；在这个新诠释中，只有不同物体的非欧几里得距离一般将不同于原来诠释中的欧几里得距离。

    以这种新方式诠释的实验还会与我们的“相对性定律”一致吗？如果不存在这种一致，我们也没有权利说经验证明了非欧几里得几何学的谬误吗？

    很容易看到，这是杞人忧天；事实上，为了十分严格地使用相对性定律，必须把它应用到整个宇宙。这是因为，如果仅仅考虑这个宇宙的一部分，如果这部分的绝对位置恰恰改变了，那么它与宇宙其他物体的距离同样也会改变，因而这些物体对所考虑的宇宙部分的影响便会增大或减小，这就要修正在那里发生的现象的定律。

    可是，假如我们的系统是整个宇宙，那么经验便不能给出它在空间的绝对位置和取向的信息。不管我们的仪器多么完善，它们能够告诉我们的一切将是宇宙各部分的状态和它们的相互距离。

    于是，我们的相对性定律可以阐述如下：

    在任何时刻，我们根据我们的仪器能够得到的读数，将仅仅依赖于我们根据同一仪器在初始时刻能够得到的读数。

    现在，这样一种阐述与实验事实的每一种诠释无关。如果定律在欧几里得诠释中为真，那么它在非欧几里得诠释中亦为真。

    请容许我在这里插一点话。我在上面已说过规定系统各个物体的位置的数据；我同样要说规定它们的速度的数据；我接着必须把各个物体相互距离变化的速度区别开来；另一方面，必须区别系统的平动速度和转动速度，也就是它的绝对位置和取向变化的速度。

    为了使心智十分满意，相对性定律可以这样表达：

    物体在任何时刻的状态和它们的相互距离，以及这些距离在同一时刻变化的速度，将仅仅取决于这些物体在初始时刻的状态和它们的相互距离以及这些距离在初始时刻变化的速度，但是它们既不依赖于系统的绝对初始速度，也不依赖于它的绝对取向，还不依赖于绝对位置和取向在初始时刻变化的速度。

    不幸的是，这样阐述的定律与实验不符，至少是在这些实验按通常那样诠释时。

    设把一个人运送到总是阴霾密布的行星上，以致他永远也看不到其他恒星；他生活在这个行星上，仿佛行星在空间中是孤立的一样。不过，这个人既可以通过测量行星的扁率（通常借助于天文观察来完成，但也能够借助于纯粹的大地测量方法），也可以重做傅科（Foucault）摆实验，从而可以意识到行星转动。因此，这个行星的绝对转动便变得很明显。

    这是一个使哲学家震惊的事实，但是物理学家却不得不接受它。

    我们知道，牛顿从这一事实中推断出绝对空间的存在；我自己完全不能采纳这一观点。我将在第三编开始研讨其中的缘由。我暂且不打算说明这个难题。

    因此，在阐述相对性定律时，我们必须听任把规定物体状态数据中的各种速度包括在内。

    无论如何，这个困难对于欧几里得几何学与对于罗巴契夫斯基几何学也许都是一样的；因此，我不需要为此而烦恼，我只是顺便提到它。

    重要的是这个结论：实验不能在欧几里得几何学和罗巴契夫斯基几何学之间做出裁决。

    总而言之，无论我们从哪一方面进行考察，都不可能在几何学经验主义中发现合理的意义。

    6. 实验只不过告诉我们物体相互之间的关系；至于物体与空间的关系，或者空间各部分的相互关系，没有一个实验影响或能够影响。

    “是的，”你回答说：“单一的实验是不够的，因为它只能给我一个带有许多未知数的方程，可是当我作了足够的实验后，我就有了足以计算所有未知数的方程。”

    知道船的主桅的高度还不足以计算船长的年龄。当你测量了船上每一块木头，你就会得到许多方程，可是你还不能更清楚地了解他的年龄。你所测量的一切仅仅与木块有关，它们只能向你揭示与这些木块有关的东西。正是这样，你的实验无论多么多，它们只是影响到物体相互之间的关系，而丝毫也不能向我... -->>
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