第十二章 光学和电学

称其为U。正是两种能T和U之和是常数。

    现在，最小作用原理能告诉我们什么呢？它告诉我们，系统在从时刻t0所占据的初始位置到达t1所占据的最终位置时，必须采取这样的路径，以便在两个时刻t0和t1之间所逝去的时间间隔内，“作用”（也就是说两个能量T和U之差）的平均值将尽可能小。

    如果两个函数T和U已知，这个原理足以决定运动方程。

    在从一个位置到达另一个位置的所有可能的路径中，显然存在着一个路径，它使得该作用平均值比任何其他的作用平均值都要小。而且，只存在一条路径；最小作用原理正是由此足以决定所遵循的路径，从而决定运动方程。

    这样，我们便得到所谓的拉格朗日方程。

    在这些方程中，独立变量是假想分子m的坐标；但是，我现在假定，人们把实验可以直接得到的参数q作为变量。

    因此，必须把能量的两部分表示为参数q和它们的导数的函数。它们显然将以这种形式出现在实验家的面前。实验家自然将力图借助他能够直接观察的量来定义势能和动能。 [3]

    姑且承认，系统将总是沿着平均作用最小的路径从一个位置到另一个位置。

    现在，不管T和U是否借助于参数q和它们的导数表示；也不管我们是否借助那些我们规定初始位置和最终位置的参数；最小作用原理依然总是为真。

    又在此时此处，在导致从一个位置到另一个位置的所有路径中，存在一条平均作用最小的路径，而且只存在一条。因此，最小作用原理足以决定那些规定参数q变化的微分方程。

    这样得到的方程是拉格朗日方程的另一种形式。

    为了形成这些方程，我们既不需要知道把参数q与假设分子的坐标联系起来的关系，也不需要知道这些分子的质量，亦不需要知道作为这些分子坐标的函数的U的表达式。

    我们需要知道的一切是作为参数的函数U的表达式、作为参数q及其导数的函数T的表达式，即作为实验材料的函数的动能和势能的表达式。

    于是，我们将在下述两件事情中二者择一：或者对于函数T和U的适当选择，像我们刚刚所说的那样构造的拉格朗日方程将与从实验推导出来的微分方程等价；或者不存在会出现这种一致的函数T和U。很清楚，在后一个案中，力学说明是不可能的。

    力学说明是可能的必要条件在于，我们能够以这样的方式选择函数T和U，以便满足最小作用原理，这也包括能量守恒原理。

    而且，这个条件是充分条件。事实上，假定我们找到参数q的函数U，它表示能量的一部分；假定能量的另一部分我们将用T来表示，它是参数q及其导数的函数，而且是关于这些导数的二次齐次多项式；最后，假定借助这两个函数T和U形成的拉格朗日方程符合实验材料。

    为了从中演绎力学说明，什么是必要的呢？其必要条件是，能够把U看做是系统的势能，能够把T看做是同一系统的活力。

    至于U，没有什么困难，但是能够把T视为物质系统的活力吗？

    很容易证明，这总是可能的，甚至可以用无穷的方式去证明。我将只限于比较详细地提一下我的著作《电和光学》的序言。

    这样，如果不能满足最小作用原理，就不可能有力学说明；如果能够满足，就不仅有一种力学说明，而且有无数的力学说明，由此可得，只要有一种力学说明，就会有无数其他的力学说明。

    还有一种意见。

    在实验直接给予我们的量中，我们将把一些量看做是我们假想分子的坐标的函数；这些量是我们的参数q。我们将认为其他量不仅与坐标有关，而且与速度有关，或者说与参数q的导数有关也一样，或者认为其他量是这些参数及其导数的组合。

    于是，便出现了一个问题：在所有这些用实验测量的量中，我们选择哪一个代表参数q呢？我们愿意把哪一个作为这些参数的导数呢？这种选择在很大程度上依然是任意的；但是，要使力学说明是可能的，只要我们能够以符合最小作用原理的方式进行选择就足够了。

    麦克斯韦当时曾经自问，他是否能做这种选择，是否能以电现象满足这个原理的方式选择两种能量T和U。实验向我们表明，电磁场的能量分为两部分————静电能和电动力能。麦克斯韦注意到，如果我们把第一个视为表示势能U，把第二个视为表示动能T；而且，如果把导体的静电荷视为参数q，把电流强度视为其他参数q的导数；那么，在这些条件下，我可以说麦克斯韦注意到电现象满足最小作用原理。从那时起，他便肯定了力学说明的可能性。

    如果他在他的书的开头就说明这一观念，而不是把它放逐到第二卷的不引人注目的部分，那么大多数读者便不会忽略它。

    于是，如果现象容许有完备的力学说明，那么它将容许有无数其他的力学说明，它们将会同样圆满地描述实验揭示出的所有特点。

    这被物理学每一个分支的历史确认；例如，在光学中，菲涅耳相信振动垂直于偏振面；诺伊曼（Neumann）认为振动平行于偏振面。人们长期寻找一种“判决性实验”，使我们能够在这两种理论之间做出裁决，但是却没有找到它。

    在不离开电领域的情况下，我们可以用同样的方式断言，两种流体理论和一种流体理论二者都能以同样满意的方式阐明所有观察到的静电学定律。

    幸亏我刚才回忆起的拉格朗日方程的特性，所有这些事实都可以顺利地加以说明。

    现在，很容易领悟麦克斯韦的基本观念是什么了。

    为了证明电的力学说明的可能性，我们不需要专心致志地寻找这个说明本身；只要知道作为能量两部分的两个函数T和U的表达式，只要用这两个函数形成拉格朗日方程，然后把这些方程与实验材料相比较，就足以使我们满意了。

    在这一切可能的说明中，怎样做出没有实验帮助我们的选择呢？也许到某一天，物理学家将对那些实证方法不能达到的问题毫无兴趣，而把它们抛给形而上学家。可是，这一天尚未来到；人们不会如此轻易听命于对事物的根底永远无知。

    因此，我们的选择进而只能以下述考虑为指导：在这些考虑中，个人鉴赏的部分是很大的；不过，有些答案世人都反对，因为它们太怪诞了，而另外一些答案则受到所有世人的偏爱，因为它们具有简单性。

    关于电和磁，麦克斯韦避免作任何选择。这并不是他故意轻视用实证方法不能得到的一切东西；他致力于气体运动论所花的时间充分地证明了这一点。我还要补充说，尽管他在他的大作里没有提出完备的说明，但他早先在《哲学杂志》的一篇文章中曾试图给出说明。他当时不得不做假设，这些假设的奇异性和复杂性后来导致他放弃了这一说明。

    同样的精神在整个著作中无处不有。基本的东西，也就是说对所有理论必定是共同的东西，已被突现出来；只能适合于特殊理论的一切几乎总是默默而过。这样，读者发觉自己面临着几乎没有内容的形式，起初他被诱使把它视为是不可捉摸的、飘忽不定的影子。但是，他的艰难尝试被宣布为劳而无功，这迫使他进行思考，他终于弄明白，在他以前只是感到奇怪的理论结构中，往往有相当人为的成分。

    * * *

    [1] 这一章是我的下述两部著作的序言的部分复印：《光的数学理论》（Théorie mathématique de la lumière，Paris，Naud，1889）和《电和光学》（Electricité et optique，Paris，Naud，1901）。

    [2] 我补充说，U将仅取决于参数q，T将取决于参数q和它们对于时间的导数，而且对于这些导数是二次齐次多项式。