第三章 空间为什么有三维？

    1. “拓扑学”和连续统

    几何学家通常在两类几何学之间作出区分，他们把第一类称为度量几何学，把第二类称为射影几何学。度量几何学以距离概念为基础；在度量几何学中，当两个图形“全等”（在数学家赋予这个词的意义上）时，则它们被认为是等价的。射影几何学以直线概念为基础。因为在射影几何学中，认为两个图形等价并不一定要它们相等，只要它们通过射影变换彼此对应（即一个是另一个的射影）就足够了。第二类几何学往往被称为定性几何学；若与第一类几何学相比较，它的确是这样。显然，在射影几何学中，度量和量并不起什么重要的作用。然而，也不完全如此。直线不是纯粹定性的；在没有作出某种度量或者在没有使所谓的直尺（一种度量工具）沿一条线移动的情况下，就不能断言这条线是直线。

    但是，还有第三类几何学，在这类几何学中，量被完全排除了，它纯粹是定性的，这就是拓扑学。在这个学科中，可以通过连续变形使一个图形与另一个图形对应，从而两个图形在任何时候都是等价的，不管支配这种变形的规律是什么，只要保持连续性就行。于是，圆等价于椭圆，甚至等价于任何类型的闭曲线，但它与线段不等价，因为线段不是闭合图形。球面等价于任何曲面，但是它不等价于圆环面，因为在圆环面上有一个洞，而球面上却没有。让我们设想任何一类图样，一个笨拙的制图员描画这个图样的复制品。比例被歪曲了，用颤抖的手画出的直线歪歪扭扭，结果成了不成比例的曲线。从度量几何学的观点来看，甚至从射影几何学的观点来看，这两个图形都不是等价的；但是，与之相反，从拓扑学的观点来看，它们是等价的。

    对于几何学家来说，拓扑学是很重要的科学。拓扑学导致了一系列定理，这些定理像欧几里得的定理一样密切相关；正是从这组命题出发，黎曼（Riemann）构造了一种最著名的、最抽象的纯粹分析理论。为了说明它们的本性，我将引用其中的两个定理：（1）平面上的两个闭曲线相交于偶数个点；（2）如果一个多面体是凸多面体（这就是说，如果不把它一切为二就不可能在它表面上描绘一个闭合线），那么它的棱数等于顶点数加面数减去二；当多面体的面和棱是曲面和曲线时，这依然是正确的。

    这就是拓扑学使我们如此由感兴趣的东西，正是在这门学科中，几何学直觉确实起着作用。在度量几何学的定理中，当运用能力是由这种直觉组成时，那正是因为在无视一个图形的定性性质时，也就是说，在忽视研究那些严格地属于拓扑学的性质时，便不可能研究它的度量性质。人们常说，几何学是一门关于粗制滥造的图形的正确推理的艺术。这不是冷嘲热讽，而是值得思考的真理。但是，什么是粗制滥造的图形呢？刚才提到的那位笨拙的制图员所能画出的图形就是这类图形。他或多或少公然地歪曲了比例；他把直线乱画为锯齿形；他的圆好像土堆一样难看。但是，所有这一切无关紧要；它无论如何不会使几何学家烦恼；这并不妨碍他正确地推理。

    但是，缺乏经验的画图者必然不用开曲线描绘闭曲线，或者不用没有公共点的三条直线描绘相交于一点的三条直线，或者不用完整的曲面描绘有洞的曲面。在那种情况下，这位画图者的图画毫无用处，推理也变得不可能了。直觉不会受到图画中仅对度量几何学和射影几何学有意义的缺陷的妨碍。然而，只要这些缺陷涉及到拓扑学，直觉将变得不可能。

    这种十分简单的观察指出几何学直觉的真实作用；几何学家需要画图形，至少需要形成它们的思想图像，从而便利了这种直觉。现在，如果他尽量减小这些图形的度量性质和射影性质的重要性，如果他仅仅专注于它们的纯粹定性的性质，那么唯有几何学直觉在这里真正起作用。我并不是说度量几何学是建立在纯粹逻辑的基础上，或者其中没有直觉真理的地位。但是，它们是另一类直觉观念，类似于在算术和代数中起主要作用的直觉观念。

    拓扑学的基本命题是：空间是三维连续统。我已经在其他著作中讨论了这个命题的起源，但却是以极为简略的方式讨论的，为了阐明某些观点：再次更详细地考察一下它，在我看来并非是毫无意义的。

    空间是相对的；所谓相对空间，我不仅意指在我们没有注意到的情况下，我们可以转移到空间的另一个区域（这是我们真正遇到的事情，因为我们并不觉察到地球的平动）；我不仅意指，一切物体的所有维数在我们不能知道其变化的情况下能够成比例地增加，倘若我们的测量仪器经受到同样的变化的话；而且我也意指，空间能够按照某个任意的规律变形，假使我们的测量仪器也按照这个同样的规律变形的话。

    这可以是任何变形，但变形必须是连续的；也就是说，它必须是使一个图形变换为从拓扑学观点来看是等价的另一个图形的那些变形之一。当空间被认为是独立于我们的测量仪器时，空间从而既不具有度量的性质，也不具有射影的性质；它只有拓扑的性质（也就是说，仅具有在拓扑学中所研究的性质）。它是无定形的，也就是说，它并非不同于人们通过无论什么连续性的形变能够从它得出的任何空间。我将用数学语言加以解释。在这里有两个空间E和E′；E中的点M对应于E′中的M′；点M有直角坐标x，y，z；点M′具有x，y，z的三个任何连续函数作为直角坐标。从我们所谈到的观点看来，这两个空间并没有什么不同。

    我们测量仪器的功能，尤其是固体的作用如何给人的智力提供更完满地决定和组织这种无定形空间的机会，它怎样容许射影几何学画直线网络，怎样容许度量几何学测量这些点之间的距离群的基本概念在这个过程中起什么根本性的作用，我在其他著作已经对此作了详细的解释。我认为所有这些论点都已得到确认，我不需要再重复这些了。

    在这里，我们只关心在拓扑学中所考虑的无定形的空间，即独立于我们测量仪器的唯一的空间；它的基本性质————我是要说它的唯一的性质————是三维连续统的性质。

    2. 连续统和截量

    可是，什么是n维连续统呢，它与维数较大或较小的连续统怎样区别呢？让我们首先回顾一下康托尔（Cantor）的学生最近得到的一些结果吧。在直线上的点和平面上的点之间，或者更一般地说，在n维连续统上的点和p维连续统上的点之间有可能建立一一对应关系。倘若我们不受平面上两个无限邻近的点对应于直线上两个无限邻近的点这个条件（即连续性条件）的约束，那么这就是可能的。

    因此，有可能用这样的方式使平面发生变形而得到直线，只要这种变形不是连续的。另一方面，用连续的变形则不可能这样。于是，维数的问题与连续性概念密切相关，而对于任何想要排除这一概念的人来说，那是没有什么意义的。

    为了定义n维连续统，我们首先有解析定义：n维连续统是n个坐标的集合，也就是说，是能够各自独立变化的、而且假定所有的实值满足某些不等式的n个量的一个集合。这个定义从数学的观点来看尽管没有缺点，但是无论如何不能使我们完全满意。在连续统中，各种坐标可以说并非相互毗连；它们在它们自身之中联系起来，以致形成一个整体的各个方面。在空间研究的每时每刻，我们实现的就是所谓的坐标变换。例如，我们实现直角坐标系变换，要不然我们变换到曲线坐标。在研究另一个连续统时，我们也实现坐标变换；也就是说，我们用n个坐标的无论什么样的n个连续函数代替n个坐标。对于我们之中不是从刚才提到的解析定义出发，而是从某个更深奥的来源出发而导出n维连续统概念的人来说，这一操作是很自然的；我们感到，那些在连续统中是本质的东西并没有变化。另一方面，对于那些仅仅从解析定义了解连续统的人来说，这一操作无疑是合理的，但却是奇异的，未经证明的。

    最后，这个定义尽量减小了连续统概念的直觉起源和这一概念所包含的一切丰富思想的重要性。它像那些从数学“算术化”以来在这门科学中变得如此频繁的定义那样反复出现。从数学的观点来看，我们所说的这些定义是没有缺点的，但是它们却不能使哲学家满意。它们用由比较简单的材料组成的结构代替被定义的对象和这个对象的直觉概念。因此，很容易看到，用这些材料可以有效地形成这个结构，但我们同时看到，要作出更多的东西同样是可能的。未被揭示出来的是：为什么用这种方式而不用另外的方式来组合这些材料，其中有什么深刻的原因？我的意思并不是说，数学的这种“算术化”是不受欢迎的；我说它并非包罗万象。

    我将把维数的确定建立在截量概念的基础上。首先，让我们考虑一条闭曲线，即一维连续统。如果我们在这条曲线上取任意两个我们将不容许我们自己通过的点，那么该曲线将被截为两部分，不可能从一部分到另一部分，因为我们虽然还在这条曲线上，但是却不能通过被排除的点。另一方面，让我们考虑一个闭曲面，它形成一个两维连续统。在这个曲面上，可以取一两个或任意数目的被排除的点。该曲面并不因为这样就被分为两部分；在这个曲面上，可以从一点到另一点，而不会遇见任何障碍，因为总可以绕过被排除的点。

    可是，如果我们在曲面上画出一条或多条闭曲线，如果我们把它们看作是不可逾越的截量，那么该曲面就能够被分为几个部分。

    现在，让我们考虑空间的情形。我们既不能禁止通过某些点，也不能禁止越过某些线来把空间分为几个部分，这些障碍总可以绕过去。必须禁止越过某些面，即某些两维截量。这就是我们说空间具有三维的原因。

    我们现在知道，n维连续统是什么。当一个连续统能够借助于一个或多个本身是n-1维的截量被分为许多区域，则该连续统具有n维。这样，n维连续统用n-1维连续统来定义。这就是递归定义。

    在这个定义中，什么东西给我以信心呢？什么东西向我表明观念实际上如何自然而然地在人们的头脑中产生呢？它首先就是，许多基本读物的作者并无意于恶作剧，但在他们著作的开头部分却作出了类似的事情。他们把体积定义为空间的部分，把面定义为体积的边界，把线定义为面的边界，把点定义为线的边界；此后他们停顿下来，其类似性是明显的。遵循这种定义，我们在拓扑学的其他部分重新发现截量的重要作用。例如，根据黎曼的观点。是什么东西把圆环面与球面区别开来呢？正是这样的事实：我们不能在球面上画一条闭曲线而又不把球面分为两部分，可是却存在着不把圆环面分为两部分的闭曲线，为了保证人们分开圆环面，必须作出没有公共点的两个闭截量（闭曲线）。

    还留下另一个值得考察之点。我们刚才考察的连续统是数学连续统；它们的每一个点都是独特的东西，绝对不同于其他点，而且绝对不可分。由我们的感觉所直接揭示的连续统，我称之为物理连续统，它们都是有差别的。支配这些连续统的规律是费希纳（Fechner）定律，我将剥去通常套在它身上的华丽的数学外衣，以便把它还原到作为它的基础的实验数据的简单项。根据估计，有可能分辨出一个10克重的砝码和一个12克重的砝码的差别，但恐怕不可能分辨出一个11克重的砝码和一个10克重的砝码或12克重的砝码的差别。更一般地，可以有这样两个感觉集合：我们在没有分辨出一个集合或另一个集合与第三个集合的差别的情况下就可以分辨出它们二者的差别。根据这一假定，我们能够设想这样一个感觉集合的连续链，它们中的每一个都无法与相接的一个区别开来，尽管链的两端却能够很容易地加以分辨。这将是一维的物理连续统。我们也可以设想较复杂的物理连续统。这些物理连续统的元素将又是感觉的集合（但是我更喜欢用比较简单的词————元素）。另外，什么时候我才能说，相似元素的系统S是物理连续统呢？无论任何时候，我都能够把它的任意两个元素看作是一个连续链的两个末端，该链类似于我刚刚叙述过的链，它的所有元素都属于S。因此，如果可以用不离开曲面的一条连续的线联结该曲面的任何两个点，那么该曲面就是连续的。

    我们能够把截量的概念推广到物理连续统，从而决定它们的维数吗？我们显然能够这样做。让我们排除S中的某些元素以及所有不能与它们区分的元素。这些受到限制的元素完全可以是有限的数目，要不然就能够通过它们的结合形成一个或多个连续统。这些有限的元素的集合将组成一个截量；在形成这一截量后，所发生的情况是，我们可以把连续统S分为几个别的连续统，这时再也不能通过连续链从S中的任何元素到任何其他元素中去，这个链的元素无法与该截量的任何其他元素相区别。

    因此，通过把我们自己限制到有限数目的元素之内，从而能够被截的物理连续统将具有一维；如果一个物理连续统能够借助于本身是n-1维的物理连续统的截量来分割，那么它将具有n维。

    3. 空间和感觉

    问题似乎被解决了；我们也许只需要把这个法则应用于作为空间的粗糙图像的物理连续统，或者应用于对应的数学连续统————它是物理连续统的精制的图像，是几何学家的空间。但是，那是一种假象；如果我们由以推知空间的物理连续统是直接通过感觉揭示给我们的，那么一切也许是幸运的；然而，事实却远非如此。

    让我们看看，从我们的大量感觉中实际上是怎么有可能推导出物理连续统的呢。物理连续统的每一个元素都是感觉集合；首先考虑一下同时的感觉的集合，即意识的状态，这是最简单的集合。然而，我们的每一个意识状态是一种极其复杂的东西，以至于我们从来也不能指望看到两个意识状态变得不可区分。可是，为了构造物理连续统，从以前已说过的情况来看，基本的问题是，它们的两个元素在某些情况下能够被看作是不可区分的。可是，我们永远也不能说：我不能把我目前的思想状态与我前天同一时刻的思想状态区分开来。

    因此，我们有必要通过积极的思想操作，通过忽略两个意识状态的差别，从而一致认为二者是等价的。例如，我们可以忽略某些感官的感觉，这将是最为简单的。我已经说过，我无法分辨一个10克重的砝码和一个11克重的砝码的差别。可是，情况也许是，如果我不断地实验，那么一个10克重的砝码所引起的压力感觉被各种不同的嗅觉和听觉伴随着，当用一个11克重的砝码代替一个10克重的砝码时，这些各种各样不同的感觉变化了。正因为我忽略了这些特异的感觉，我才能够说，两个意识状态是不可区分的。

    有可能规定更复杂的条件；也有可能以不仅把同时的感觉的集合，而且把相继的感觉的集合即感觉系列看作是我们的连续统的元素。接着，有必要规定基本的条件，而且为了认为连续统两个元素是等价的，有必要指明二者必须具有的共同特性（不管它们是同时的感觉的集合还是相继的感觉的集合）。

    于是，在定义物理连续统的场合，有必要作出双重选择：第一，选择作为这个连续统的元素的同时的或相继的感觉集合；第二，选择定义两个元素必须被认为是等同的情况的基本条件。

    为了得到空间，必须怎样进行这种双重选择呢？我们能够满足于考虑同时的感觉的集合或者有必要考虑感觉系列吗？特别是，我们能够以由于忽略某些感官的知觉而形成的最简单的和最自然的基本条件为满足吗？否！

    这样的否定是不可能的；我们不能从我们的感觉中选择出那些将向我们传达空间概念并且只传达空间概念的感觉。没有一种感觉不借助于其他感觉就能够向我们传达空间概念；也没有一种感觉不传达大量与空间毫无关系的东西。

    例如，我们分析一下所谓接触的知觉，这是我们觉察到的知觉。经验告诉我们，如果我们用两个大头针接触我们的皮肤，倘使它们相距足够远，那么我们的意识就能够分辨出这两个大头针，如果使它们相互靠得很近，我们就无法在二者之间作出区分了。而且，区分它们的最小距离依据身体部位而变化。我们通常说，皮肤被分为各个部位，每一个部位都是同一感觉神经的管辖范围；如果两个大头针扎入同一部位，那么只有单根神经受到刺激，我们只意识到一个大头针；但是，换一种情况，如果它们扎入两个部位，结果影响到两根神经，我们便觉察到两个大头针。这并不完全令人满意；我们无法用这种方式发现物理连续统的特性。让我们设想一下，我们改变两个大头针的位置，而使它们已经很小的距离保持恒定。由于这个距离很小，可以发生下述情况：两个大头针将扎入同一部位，结果只产生一个知觉。但是，如果我们一点一点地改变它们的位置，而不改变它们的距离，在某一瞬间，将出现这样的情况：它们中的一个将扎入该部位之外，而另一个还处于该部位之内。在此瞬间，我们应当感觉到两个大头针，但我们所观察到的情况并非如此。我们不可能用这种方式推断出物理连续统的概念，但是却可以推断出由像有那么多部位那么多的独特情况所形成的离散集的概念。最好是姑且承认，大头针的接触不仅影响最近的神经，而且也影响相邻的神经，而当距离增大时，其强度亦随之减小。因此，让我们设想，我们正在把两个大头针接触的作用进行比较。如果两个大头针的距离很小，那么同一神经受到作用；某一个大头针对于同一神经的刺激强度将无疑是不同的，但是这种差别太小了，以至于按照费希纳的一般法则也难以分辨出来。如果一根神经受到大头针A的刺激而没有受到B的刺激，那么它仅仅是受到大头针A 的轻微刺激，这个刺激将低于“意识阈限”。因此，两个大头针的影响将是不可区分的。

    这样，我们有了我们为构造物理连续统所需要的一切；我们只要使两个大头针沿着我们皮肤的表面移动，我们只要注意在哪一种情况下我们的意识能分清它们。我们已略去了（那是我上面所提到的作为我们基本的条件的东西）大量的事实：每一个感觉网络的刺激强度、大头针在皮肤上所施加的或大或小的压力、接触的性质。触觉揭示出了所有这些事实，但是我们排除了它们，以便只保持其特性是几何学的那些事实。这样一来，我们推断出空间概念了吗？没有；首先，这样构造出的连续统像皮肤本身的表面一样只有两维。其次，我们十分清楚地知道，我们的皮肤是可动的，皮肤上的特定点并不总是对应于空间的特定点；当我们的身体变形时，皮肤上两点之间的距离就要发生变化。毫无疑问，软体动物正是用这种方式想象空间的，但是这与我们的空间概念无关。

    3435 同样的情形对视觉也是真的；照射到视网膜两点上的两束光，根据这两点的距离是大还是小，要么给我们以两个光斑的印象，要么只给我们一个光斑的印象。这相当于上述的两个大头针；我们能够忽略光的颜色和强度，利用它们构造物理连续统；这个物理连续统正像视网膜的表面一样，将具有两维。第三维是通过眼睛的双目视觉的会聚作用引入的，这就是所谓的视觉空间（visual space）。它高于触觉空间（tactile space），首先是因为我们怀着一点善意给它以三维，其次是因为视网膜无疑是可动的，而从固体的意义上讲，皮肤却在所有方向上都是柔韧的。于是，我们被诱使说，真实的空间存在于我们企图确定我们所有的感觉起源的地方。这还不能使人满意。不仅眼睛是可动的，以至于空间的特定点并不总是对应于视网膜的特定点和眼睛的特定会聚度；而且这也无法解释，为什么第三维如此明显地与已经引入的其他两维不一致，也无法解释为什么盲人的几何学和我们的相同。

    如果我们希望把视觉空间和触觉空间结合起来，那么将有五维而不是三维或两维；将依然存在着用什么过程解释五维能够简化为三维的任务；如果我们希望把其他感觉引入这种结合之中，那么维数将进一步增加。

    还要用几句话来解释，为什么触觉空间和视觉空间是同一个空间。

    4. 空间和运动

    因此，情况似乎是，我们不能通过考察同时的感觉的集合来构造空间，我们必须考虑感觉系列。总是有必要再次提到我前面已经说过的东西。某些变化表现为位置的变化，另一些变化表现为没有几何学性质的状态的变化，这究竟是为什么？为此，我们必须首先区分外部变化和内部变化；外部变化是非随意的，它们并不被肌肉感觉所伴随；内部变化是我们身体的运动，我们可以把它们与其他变化区别开来，因为它们是随意的，并被肌肉的感觉所伴随。内部变化能够矫正外部变化，例如我们以这样的方式用我们的眼睛跟踪运动着的物体，使它的映像总是返回到视网膜的同一点上。可以被这种矫正感受的外部变化是位置变化；如果它不能被这种矫正感受，它就是状态变化。

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