第三章 空间为什么有三维？

    从定性的观点来看是完全不同的两种外部变化，如果能够用相同的内部变化来矫正它们，那么它们就被认为是对应于同一位置变化。也可以这样说，如果两个内部变化能够矫正相同的外部变化、那么它们就能由毫无共同之处、但是却对应于同一位置变化的肌肉感觉系列组成。这就是当我们说，有许多路线能够从一点引到另一点时，我们用通常的用语所表达的意思。

    因此，重要的是，为了到达特定的物体，必须做的就是动作。对于我们来说，这些动作的意识无非是伴随它们的肌肉的感觉集合。

    由此推断，某一物体与我的一个手指接触；比方说，与我右手的食指接触。从这一事实我经验到触觉T；同时，我从这个物体经验到视觉V。当把该物体移开时，感觉T逐渐消失，视觉V被新的视觉V′代替；这是一种外部变化。假定我希望通过复原感觉T，即使我的食指再次接触该物体，来部分地矫正这一外部变化。为了做到这一点，我必须完成某些动作，对我来说，这些动作通过肌肉感觉系列S表示出来。我知道，这是因为我或我的祖先的大量经验告诉我，当感觉T消失而视觉从V变到V′时，可以通过对应于该系列S的运动来复原感觉T。我同样清楚地知道，对我来说，我通过不用系列S，而用另外的系列S′或S″描述它们自身的其他动作而能够得到相同的结果。

    所有这些肌肉感觉系列S，S′，S″……或许没有共同的元素；我之所以比较它们，是因为我知道，它们中的任何一个在视觉V变为V′的每一时刻都能够复原感觉T。用我们通常的语言，已经通晓几何学的我们将说，对应于肌肉感觉系列S，S′，S″的各种动作系列有这样的共同之处：在它们任何一个中，我们食指的初始位置和最终位置依然相同。其他每一情况可能不同。

    这样，我未被引导去区分这些不同的系列S，S′，S″……，也没有把它们视为单一的感觉。我不想去区分与这些系列差别过小的肌肉感觉系列。届时，我将有构造物理连续统的方法。事实上，我已选出这个连续统的元素，它们是肌肉感觉系列，而且我有了“基本的条件”，这些条件告诉我，在哪一种情况下，这些元素中的两个必须被视为是等同的，正是这种连续统有三维。

    可是，这并非一切。我们刚刚定义了一个是真实空间的连续统；正是这个空间，被看作是用我的一个手指描述的。但是，我有几个手指（而且从与我有关的观点来看，所有我的皮肤上的点都可以视为手指）。我的不同的手指将描述相同的空间吗？是的，毫无疑问，可是这意味着什么呢？这意指的是性质的集合，用通常语言不容易描述它，如果容许我用某些符号，我可以尝试解释它。我将考虑两个手指，并称之为α和β；手指α比如说是右手的食指，我们为定义系列S，S′，S″……曾使用过它。然后我将写出

    S≡S′（modα）

    这意味着，如果对应于S的动作恢复用手指α所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S′的动作也是真的，反之亦然。类似地，我将写出

    S1≡S1′(modβ)

    来描述下述事实：如果对应于S1的动作恢复用手指β所经验到的触觉，那么同样的情况对于对应于S1′的动作也是真的。

    在作这种推断之后，我将假定存在着两个特定的肌肉感觉系列s和s1，它们是以下述方式被定义的，我将设想，手指β由于与一个物体接触而经验到触觉。通过完成对应于s的动作，这一感觉将消失。可是，最终将是手指α经验到触觉。我通过经验知道，在这些动作之前，在手指β感觉到接触的每一时刻（或者，至少几乎在每一时刻），都会发生这种情况。（我之所以说几乎，是因为要相继发生，便要求该物体在这一时间间隔内不运动。）用我们通常的语言（这种语言对我们来说比较清楚，但是我不敢使用它，因为我讲的是还不具有任何几何学知识的人），我可以说，对应于s的动作把手指α引到手指β原先占据的位置。对于s1来说，相反的情形将是真的；对应的动作将把手指β引向手指α原先占据的位置。

    如果这两个系列s和s1存在关系

    S≡S′（modα）

    将导致作为结果的下述关系：

    s+S+s1≡s+S′+s1(modβ)

    如果我们回想一下符号的意义，我们便会立即相信上述关系，我们还可以从它毫无困难地推出，由α和β产生的两个空间是同构的，特别是，它们有相同的维数。

    如果系列s和s1不存在，那么同样的情况便不可能为真。事实上，让我们设想，不可能找到一个动作系列，这个系列将在手指β与物体接触的感觉上引起手指α与同一物体接触的感觉————肯定地或者至少是几乎肯定地————这时我们应当如何推理呢？我们可以说，手指β感觉到物体没有位于空间同一点，它感觉到物体隔着一段距离；另一方面，每次手指β之所以感觉到该物体，那可能是因为物体处于空间中的同一点A。因而必须存在着把手指α引向A点的动作系列。由于物体处于A点，手指a应该能够感觉到物体，这件事总是应该发生。因此，如果我们假定不存在具有这一性质的动作系列，那么我们就必须承认，手指β感觉到在一段距离之外的接触；换句话说，为了确定物体在空间的位置，对于该物体来说，被手指感觉到并不充分；最后，这也就是说，空间必定比用手指按照我们描述过的方式产生的物理连续统有更多的维数。

    例如，我将假定，空间具有四维，我将用x，y，z ，t来表示四个坐标。我将假定，手指β每时都感觉到与物体接触，此时三个坐标x，y，z 对于手指和物体都是相同的，而不管第四个坐标可能是什么；而且，手指α每时都感到与物体接触，此时三个坐标x，y，t对于物体和这个手指都是相同的，而不管坐标z 可能是什么。在这些条件下，让我们把我们的法则用来构造由β产生的物理连续统；我们将发现，它只有三维，这三维对应于三个坐标x，y，z，坐标t不起任何作用。按同样的方法，由α产生的物理连续统有三维，它们对应于x，y，t。但是，我们不能够找到对应于这样的肌肉感觉系列s的动作系列，以至于对α的接触感觉肯定地随着对β的接触感觉。

    事实上，设x1，y1，z1，t1是物体的坐标；手指β在动作之前的坐标是x0，y0，z0，t0；手指α在动作之后的坐标是x0′，y0′，z0′，t0′。我们将用下述写法表示手指β在动作之前感觉到接触这一事实：

    x0=x1，y0=y1，z0=z1 (1)

    我们将用写法

    x0′=x1，y0′=y1，z0′=z1 (2)

    表示α在动作之后感觉到接触的事实。

    因为s存在，我们必然能够以这样的方法来选择x0，y0，z0，t0和x0′，y0′，z0′，t0′使得关系式（1）能够导致关系式（2），而不管x1，y1，z1，t1可能是什么。很清楚，这是不可能的。恰恰是不可能形成s的这一点在这种情况下向我们揭示出，空间应当有四维，而不像β产生的物理连续统那样只有三维。

    再者，如果我们引入视觉，那么我们实际上会观察到某种类似的事情。让我们考虑视网膜上的一点；我们能够赋予它像我们的手指α和β一样的作用。我们能够设想必然使物体的映像反映到视网膜的点γ上的动作系列或肌肉感觉S的对应系列。我们能够利用这个系列，以便定义类似于由α或β所产生的物理连续统。这个连续统将只有两维。但是，我们不能构造类似于s的系列，也就是说，不能构造这样一个动作系列：作为在点γ感觉到的视觉结果，该动作系列肯定引起手指α感觉到的触觉。换句话说，因为我们观察到物体的映像在γ发生，就是说我们能够确定该动作必然引导我们的手指与这个物体相接触，这没有充足的理由。我们缺乏一项关于物体的距离的资料。这就是为什么我们说，视力在一段距离之外起作用，空间有三维————比γ产生的连续统多一维。

    从这个简短的叙述中，我们看到，导致我们把三维赋予空间的实验事实是什么。考虑到这些事实，在我们看来，赋予空间以三维，而不是四维或两维，更为方便一些。但是，“方便”这个词不可能有足够强的说服力。把两维或四维赋予空间的人会发现他自己在像我们这样一个世界的生活斗争中是很不利的。这实际意味着什么呢？让我再次提到我的符号，例如全等

    S≡S′(modα)，

    它的意义我在上面已经解释过了。把两维赋予空间就得要承认我们自己并不承认的类似的全等。这时，我们便被导致用做不到的动作S′来代替能顺利进行的动作。相反地，把四维赋予空间，就会排斥我们自己承认的全等。因此，我们就会剥夺我们自己用其他动作S′代替动作S的可能性，尽管S′这些动作同样有效，并且在某些情况下，它也许还会带来特殊的好处。

    5. 空间和自然界

    可是，问题能够从完全不同的观点提出来。直到现在，我们采取的观点纯粹是主观的，纯粹是心理学的，或者如果我们希望的话，也可以说是生理学的。我们只考虑了空间与我们的感觉的关系。另一方面，我们能够采取物理学的观点，我们可以问我们自己，是否能把自然现象定域在其他空间内，而不是定域在我们自己的空间内，例如定域在两维或四维空间内。物理学向我们揭示的规律是用微分方程描述的，在这些方程中包含着某些质点的三个坐标。用其他方程，例如包含具有四个坐标的一些质点的方程，描述同一规律是不可能的吗？或者，这也许是可能的，但是由此得到的方程却较不简单？最后，或者它们却是如此简单，而我们却要完全抛弃它们，只是因为它们扰乱了我们的思想习惯？

    当我们说用其他方程描述同一规律时，我们意味着什么呢？让我们考虑两个世界M 和M′。我们能够在这两个世界中发生的或可能发生的现象之间建立这样一种对应关系，使得对于第一个世界的每一个现象φ对应于另一个世界完全确定的现象φ′也可以说是φ的映像。从而，如果我假定，在遵循支配世界M的规律的情况下，现象φ的必然结果是某个现象φ1′，作为φ的映像的现象φ′的必然结果，在遵循支配世界M′的规律的情况下恰恰是现象φ1的映像中φ1′，那么我们就能够说，这两个世界服从同一规律。现象φ和φ′的质的本性对我们来说并不怎么重要；“平行关系”是可能的这一点就有充分的理由了。

    而且，事实上，现象的质的本性只是我们的感官关心的东西，我们已经同意采取超心理学的观点，因此可以忽略我们感官的感觉，而只把注意力放在现象的相互关系上。事实上，例如当物理学家用仅看到运动质点的分子运动论的气体来代替我们通过经验所熟知的产生压力和热感觉的气体时，或者用以太振动来代替我们经验到的光和光产生的色感时，他就是这样做的。

    只要考虑一个简单的例子，即天文学现象和牛顿定律的例子就足够了。我们观察到的东西不是天体的坐标，而仅仅是它们的距离。因此它们的运动规律的通常表达式是这些距离和时间的微分方程。现在，空间两点之间的距离是一个已知的这两点的坐标的单叶函数。让我们通过在微分方程中用这种函数代替每个距离，来变换我们的微分方程。这时我们便有它们的通常形式的方程，天体的坐标本身包含在这种形式中。

    但是，我们可以用其他函数来代替这些距离，从而能够得到这些方程的其他形式。从与我们有关的观点来看，所有这些形式是同等合理的，因为它们服从现象中的“平行关系”。让我们设想天体以这样的方式处于四维空间中，它们每一个的位置不再由三个坐标、而是由四个坐标来确定。接着，让我们在方程中用两个天体的八个坐标的无论什么函数来代替迄今我们视为描述这两个天体之间距离的量。在通常的四维空间中，根本没有必要使这个函数是描述两点之间的距离的函数；它可以是无论什么函数，因为这不会违反“平行关系”。

    从而，我们将得到我们方程的一种形式，在这种形式中，涉及天体在四维空间的坐标。这将是以四维空间假说为基础的天文学定律的新表述，这一表述不会与该定律背道而驰，因为它服从“平行关系”条件。不管怎样，这样得到的方程不用说远没有我们通常的方程简单，这一点是很清楚的。

    毋庸置疑，同样的情况对于物理学规律来说也是真的。存在着一般的理由，使得它应当如此吗？即在所有的物理学分支中，是有关三维性的假说给这些方程以其最简单的形式吗？这个理由与我在这篇文章的第一部分所提到的东西，与绝对地迫使一切人相信三维性的东西，或者在人们处于生活斗争不利地位的困境下迫使人们好像相信三维性似的那样行动的东西有任何关系吗？

    在这里，有必要简短地说一点题外话。例如，让我们再次把我们通常的空间归于我们的创造者。我们说空间是相对的，这意味着物理学定律在这个空间的所有部分是相同的；或者，用数学语言来说，就是描述这些规律的微分方程不依赖于坐标轴的选择。

    如果我们考虑一个完全孤立的系统，那么这没有什么意义；不可能观察这个系统的点的坐标，而只能观察它们的各自距离。观察将不会告诉我们，这个系统的性质是否取决于该系统在空间的绝对位置，因为这个位置是不可观察的。

    如果系统不是孤立的，事情也不可能是这样（如果我们希望以严格的精确性进行论证的话），因为在没有考虑到外部物体作用的情况下，不可能描述支配这个系统的规律。可是，却存在着几乎孤立的、被其他物体包围的系统，这些物体要近到足以被看得见，然而又远到难以感觉到它们的作用力。对于与恒星有关的我们的地上世界来说，所发生的情况就是这样。因此，我们可以阐明这个地上世界的规律，就好像恒星不存在一样，但我们仍可以把这个世界与完全确定的并与这些恒星不变地联系在一起的坐标系关联起来。所以，经验告诉我们，坐标系的选择无关紧要，当进行坐标变换时，方程不会不成立。正如我们知道的，坐标轴的可能变换的集合形成一个六维群。

    让我们撇开我们通常的空间不谈，让我们用在服从现象“平行关系”的意义上是等价的其他方程未代替我们的方程。每当我们涉及到近似孤立的系统时，将存在极其普遍的事实和将保持不变的不变性特性；将存在不会使方程不成立的变换群。这些变换将不再具有坐标轴变换的含义，它们的含义能够是无论什么东西，可是这些变换所形成的群必须始终与我们刚刚提到的六维群保持同构。没有这一点，就不会有任何平行关系。

    因为这个群在所有的情况下起着重要的作用，因为它与坐标轴在通常空间中变换的群同构，还因为它如此密切地和我们的三维空间联系在一起，由于这些理由，当这个群以最自然的方式，即通过引入三维空间被提出时，我们的方程将取它们最简单的形式。

    并且由于这个群本身与被认为固体的每一单元的位置变化的群同构，由于服从这个群的规律的运动固体的这一性质通过最终分析只不过是我刚刚注意到的不变性这一特征的特例，所以我们看到，在导致我们把三维赋予空间的物理学的根据和在本章第一节提出的心理学的根据之间，并不存在基本的差别。

    6. “拓扑学”和直觉

    我想附加一点评论，它仅仅与我已经说过的东西间接有关。我们在上面看到了拓扑学的重要性，我解释道，在这里有几何学直觉的合法领域。这种直觉存在吗？我将回想起，存在着不要直觉也想取得进展的企图，而且希尔伯特（Hilbert）先生试图建立一种所谓的理性几何学，因为这种几何学一点也不诉诸直觉。它以一定数目的公理或公设为基础，这些公理或公设被认为不是直觉的真理，而认为是伪装的定义。这些公理被分为五组。关于其中的四组，我已在某些场合提到了，在某种程度上把它们视为只包含伪装的定义是合理的。

    在这里，我想着重强调一下其中的一组；即第二组，“次序公理”组。为了充分解释这个组涉及什么内容，我将引用它们中的一个。如果在任一线上的A和B之间有任意一点C在A和C之间有任一点D，那么点D将处在A和B之间。按照希尔伯特先生的观点，其中没有直觉的真理；我们同意说，在某些情况下，C在A和B之间，可是除了我们知道点或线是什么之外，我们不知道这意味着什么更多的东西。按照我们的法则，为了在任意三个点之间指定任何关系，我们能够使用“在……之间”这个表述，只要这个关系满足次序公理即可。于是，这些公理在我们看来好像是“在……之间”这个词的定义。

    因此，有可能利用这些公理，只要满足这个条件，即证明它们不相互矛盾；而且，几何学也有可能建立在它们的基础上，在这种几何学中，将不需要图形，它能够被既没有视觉、触觉，也没有肌肉感觉以及任何感觉的人所理解，它可以归结为纯粹的知性。

    是的，这种人也许会在下述意义上来理解：他十分清楚地认识到，这些命题在逻辑上可以使一个从另一个中推导出来；但是，这些命题的集合对他来说似乎是人为的和奇异的，他不理解为什么是这种命题集合，而不是许多其他可能的集合更受欢迎。

    如果我们没有经历同样的惊奇，那正是因为对于我们来说，公理实际上不是简单的定义和任意的约定，而是真正证明为正确的约定。至于其他各组公理，我依然认为，它们之所以被证明是正确的，是因为它们是与我们熟悉的某些经验事实最近似符合的东西，因而对于我们来说，它们是最方便的。谈到次序公理，在我看来，似乎存在着某种更多的东西；它们是与拓扑学有关的真实的直觉命题。我们看到，点C在一条线上其他两点之间的事实与借助于由不可逾越的点形成的截量去截取一维连续统的方法有关。

    可是，接着便产生了一个问题：像次序公理这样一些真理是通过直觉向我们揭示出来的；但是，这是有关空间直觉本身的事情呢，还是有关一般的数学连续统或物理连续统直觉的事情呢？倘若赞成第一种解决办法，我们可以容易地论证空间，但是要论证更复杂的连续统、要论证不能在空间中来描述的大于三维的连续统就困难得多了。

    而且，如果第一种解决办法被采纳，这里的全部讨论会变得毫无用处；我们之所以将三维性直率地赋予空间，是因为三维连续统是我们能够具有清晰直觉的唯一连续统。

    但是，还存在着大于三维的拓扑学。我没有说它是一门容易的科学，我为此付出了巨大的努力，没有考虑到会在其中遇到这么多困难。但是，无论如何，这门科学是可能的，它并未全部停留在分析学上。要是不持续在诉诸直觉，就无法成功地把它探究下去。因此，确实存在着大于三维的连续统的直觉；与通常的几何学直觉相比，如果它要求比较持久的注意力，那么这无疑是一个习惯问题，也无疑是当维数增加时，连续统复杂性急剧增加的结果。我们难道在我们的中等学校没有看到平面几何学得很好的学生“无法想象空间”吗？那不是他们缺乏三维空间的直觉，而是他们不习惯于运用它，他们需要作出努力才能如此。而且，为了想象空间图形，我们难道不去相继地想象这个图形的各种可能的远景吗？

    我将得出结论，我们大家都有任意维数的连续统的直觉概念，因为我们具有构造物理连续统和数学连续统的能力；而且，这种能力之所以在任何经验之前就在我们身上存在着，是因为没有它，经验严格说来是不可能的，会沦为不适合任何有机体的没有理性的感觉；是因为这种直觉只不过是我们具有这种本能的意识。然而，这种本能可以以不同的方式来运用；它能够使我们像构造三维空间那样来构造四维空间。正是外部世界，正是经验，引导我们在一种意义、而不是在另一种意义上运用它。