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第四章 无限的逻辑
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但是永远也不能使它们从B类变换到A 类。在时而在一个方向、时而在另一个方向必须作出修正的情况下，为了定义ω阶对象，一个新约定该是必要的。
其次，ω阶整数的定义不同于K阶整数的定义，其中K是有限的。K阶整数是通过递归从K－1阶整数的概念推论出K 阶整数的概念而定义的。ω阶整数通过极限来定义，也就是使这个新概念与无数原先的概念，即与所有有限阶整数的概念相关来定义。因而，对于并不知道有限数是什么的人来说，此时这两个定义可能是无法理解的；他们预先假定有限数和无限数之间的区别。因此，这个区别不能建立在这些定义的基础上。
5. 策默罗先生的论文
正是在完全不同的方向上，策默罗（Zermelo）先生寻求我们已经指出的困难的解决办法。他力求假定一个先验的公理系统，该系统容许他在不面临矛盾的情况下证明所有的数学真理有许多估计公理作用的途径；它们能够被视为任意的规定，这些规定无非是基本概念的伪装的定义。因此希尔伯特先生在几何学的开头引入“物”（things），他把点、直线和平面称为物，不管是忘却还是似乎是片刻忘却这些词的共同意义，他都针对这些物拟定了定义它们的各种关系。
为使这成为合理的，就必须证明，由此引入的公理是不矛盾的，而就几何学而言，希尔伯特先生完全取得了成功，因为他设想分析已经建立起来了，因为他能够在这个证明中利用它。策默罗先生没有证明他的公理是摆脱了矛盾的，而且他不能这样做，因为要这样做，他就应当利用其他已经确立的真理作为基础。但是，谈到已经确立起来的真理和已经完成了的科学————他假定到当时为止还不存在；他排除任何东西，他希望他的公理是完全自身充分的。
因此，公设能够把它们的价值仅仅归于某种类似于任意规定的东西；它们必须是自明的。正因为自明不能被证明，所以要证明这种自明，我们从而必须力图深入到创造这种自明感的心理学机制。而这就是产生困难的地方；策默罗先生承认某些公理，而排斥另一些乍看起来似乎正像他保留的公理一样自明的公理。如果他完全保留它们，他就会陷入矛盾；因此，对他来说，有必要作出选择。但是，我们可能会感到奇怪，他选择的根据是什么，这使得我们必须要谨慎小心。
就这样，他以反对康托尔的定义开始：集（set）是任何与其他不同的、任何被认为是形成一个整体的对象的集合。因此，我没有权利谈论满足这个条件或那个条件的所有对象的集。这些对象没有形成集（set或Menge） [1] ，但是有必要用某种东西代替我们排斥的定义。策默罗先生把他自己限制在这样一个陈述内：让我们考虑任何类型对象的域（domain，Bereich） [2] ；在两个这样的对象x和y之间可以存在x∈y的形式关系，于是我们将说，x是y的元素以及y是集（set）或Menge。
显然，这不是定义。任何一个不知道Menge是什么的人，当他得知用符号∈表示它时，他将不会更好地认识它，因为他不知道∈是什么。如果符号∈后来用被视为任意规定的公理来定义，这样事情就过得去了。但是，我们刚才已看到，这种观点是站不住脚的。因此，我们必须预先了解Menge是什么，我们必须具有它的直觉观念。正是这种直觉，使我们能够理解∈是什么；没有这一点，∈只不过是缺乏意义的、不能宣称有任何自明性质的符号。但是，如果这种直觉不是我们轻蔑地排斥的廉托尔的定义，那么它能够是什么呢？
让我们略过这个困难，我们将在以后试图阐明它，让我们列举一个策默罗先生所设想的公理；它们总共有七个：
1.具有相同元素的两个集（Menge）是等价的。
2.存在着不包含任何元素的集（Menge），这就是空集（Nullmenge）；如果存在对象a，那么便存在Menge（a），这个对象是该Menge的唯一元素；如果存在两个对象a和b，那么便存在Menge （a，b），这两个对象是该Menge的仅有的一些元素。
3.Menge M中的所有满足条件x的元素的集形成M 的子集（subset，Untermenge） [3] 。
4.对于每一个Menge T，相应地存在着由T的所有子集（Untermenge）形成的另一个MengeUT。
5.让我们考虑Menge T，其元素是那些Mengen [4] 本身；存在着MengeST，其元素是T的元素的元素。例如，如果T有三个元素A，B，C，它们本身是Mengen；如果A有两个元素a和a′，B有两个元素b和b′，C有两个元素c和c′，ST 将有六个元素a，b，c，a′，b′，c′。
6.如果存在着一个Menge T，其元素是那些Mengen本身，那么有可能在这些基本Mengen中的每一个中选择的一个元素，而且如此选择的元素的集形成ST的一个Untermenge。
7.至少存在一个无限Menge。
在讨论这些公理之前，我们必须回答一个问题：在叙述它们时，为什么保留德语词汇Menge而不用法语词汇ensemble［集，set］？这正是因为我没有把握，词Menge 在这些公理中保持它的直观意义，没有这种直观意义，就很难排斥康托尔的定义；现在，法语词汇ensemble 使我们太强烈地想起这种直观意义，以至于当意义改变时，我们不能方便地利用它。
我不想过多地强调第七个公理；尽管如此，我必须就它说几句话，以便唤起对策默罗先生用来陈述该公理的十分首创性的方法的注意。他没有使他自己满足于我已经给出的陈述。他说：存在一个Menge M，该集在不包含作为一个元素Menge（a）的情况下也不能包含元素a，即在该Menge 中，元素a是唯一的元素。因此，如果M容纳元素a，那么它将容纳一系列其他元素，也就是说，它将容纳a是唯一元素的Menge，在该Menge中，唯一的元素是仅有一个元素a的Menge，如此等等。可以清楚地看到，这些元素的数目必然是无限的。乍看起来，这个弯路似乎是很奇怪的和人为的，实际确是这样；可是，策默罗先生想避免使用无限一词，因为他认为他的公理先于有限和无限的区分。
让我们考虑前六个公理；它们能够被视为明显的，一旦我们赋予Menge这个词以它的直观意义，并且仅仅考虑有限数目的对象的话。但是，它们不过是作者明确反对的另一个公理：
8.任何种类的对象形成一个Menge。
因此，我们必须问一个问题：无论何时涉及到无限的集合，为什么公理8不再具有自明性而头六个公理依然是自明的呢？
为了解决这个问题，我们要返回到公理的陈述，如果这样的话，我们将经历我们第一次的惊奇。我们将注意到，所有这些公理都毫无例外地告诉我们，只有一种东西，即按照某些规律形成的某些集合才能构成Menge，以至于这些公理对我们来说只不过是作为预定扩大Menge这个词的意义的一些法则，作为该词的一些纯粹的定义。这对于我们反对的第八个公理来说是正确的，正像对于我们接受的头七条公理来说是正确的一样。
可是，我们不久便被警告说，这头一个印象是错误的；词的类似的定义不会把我们引向矛盾；只有在我们具有断言某些集合不是Mengen的其他公理的时候，才不得不形成矛盾；而我们却没有这样的集合。但是，如果我们排斥第八个公理，那就会避免矛盾。策默罗先生就是这样明确地说的。
因此，情况必定是，他没有把他的公理看作是词的简单定义，他赋予Menge这个词以直觉意义，这种意义在他所有陈述之前就存在着，尽管该意义与通常的意义有某种差别。当探讨作者在他的论证中对它的用法时，就不可能不注意到这一点。Menge是我们能够推论的某种东西；它在一定程度是某种固定的、不可改变的东西。为了确定一个集即Menge，确定无论什么集合，总是要进行分类，总是要把属于这个集的对象与不是它的部分的对象分离开来。如果相应的分类不是断言的，那么我们将说，这个集不是一个Menge；如果这种分类是断言的，或者如果它就像它曾经是的那样是可能加以推论的，那么它就是一个Menge。
如果我们排斥第八个公理，正是因为无论任何对象都毫无疑问地形成集合，但却是永远不封闭的集合；其顺序能够在任何时刻通过添加意想不到的元素而被推翻。它是一个非断言的集合，相反地，当我们说，例如对于每一个Menge T，总是相应地存在着另一个用这种或那种方式定义的Menge UT 或ST，我们宣称，这个定义是断言的，或者我们有权像它曾经是的那样去行动。
这里是说在策默罗先生的下述理论中起基本作用的区分的地方了，策默罗理论说：“这样一个问题或陈述E可以称之为确定的，即关于这个域的基本关系的有效性和无效性能够毫无任意性地由公理和普遍有效的逻辑规律区分开来。”“确定的”（definii） [5] 这个词在这里似乎合理地与“断言的”一词同义。但是，策默罗先生对它所作的使用表明，同义并不是完全的。因此让我们设想，例如，这个问题E如下：Menge M的某一元素与同一Menge的所有其他元素具有某种关系吗？我们同意说我们必须回答是的所有元素形成一个类K吗？至于我，我赞同罗素先生的观点，也认为这样一个问题不是断言的；因为M的其他元素是无限的，因为可以不断地引入新的元素，因为在引入的新元素中可能存在其定义包含类K的概念的某些元素，也就是说，包含着具有特性E的元素集的概念。对于策默罗先生来说，在我没有精确认识在确定的问题和不是确定的问题之间存在着严格分界的情况下，这个问题可能是确定的。对他来说，情况似乎是，为了知道一个元素相对于M的所有其他元素是否具有特性E，只要检验它相对于它们中的每一个是否具有特性E就足够了。如果该问题相对于它的每一个元素都是确定的，那么根据这一事实，它相对于所有这些元素也是如此。
正是在这里，在我们的观点中出现了分歧。策默罗先生不容许他自己考虑所有满足某一条件的对象的集，因为在他看来，似乎这个集永远不是封闭的；引入新对象总是可能的。另一方面，在谈到是某一Menge M的一部分而且也满足某一条件的对象的集时，他毫不踌躇。对他来说，情况似乎是，人们在不具有集的所有元素的同时是不可能具有Menge的。在这些元素中，他将选择满足给定条件的元素，他将能够十分沉着地作出这一选择，而不担心被新的、未曾料到的元素的引入所扰乱，因为他手头已经拥有所有这些元素。由于预先假定了这个Menge M，他筑起了一道围墙，不让来自外部的入侵者闯入。但是，他没有询问，是否存在着他把其圈进他的围墙内的内部入侵者呢？如果Menge M具有无限数目的元素，那么这并不意味着这些元素能够被想象为预先同时存在着，而是意味着新元素有可能不断地产生；它们将在墙内产生而不是在墙外产生；这就是一切。当我说所有的整数时，我意味着所有已经被发明出来的整数和所有将有一天能够被发明出来的整数。当我说空间中的所有点时，我意味着所有其坐标能够用有理数、或用代数数、或用积分、或用任何其他能够被发明出来的方法描述的点。正是这个“能够”，就是无限。但是，有可能发明出将能够用许多方法来定义的一些东西，如果我们把我们不久前所做的归诸我们的问题E和我们的类K，那么每当M的新元素被定义，问题E会再次产生；因为在我们能够定义的元素中，将存在着一些其定义依赖这个类K的元素。以至于没有可能避免循环论证。
这就是策默罗先生的公理为什么不可能使我感到满意的原因。在我看来，它们不仅不是明显的，而且当有人问我它们是否摆脱了矛盾时，我将不知道回答什么。作者认为，他通过摒弃任何超越于闭Menge的限制的思辨，正在避免最大基数的悖论。他认为他仅仅通过询问那些是确定的问题，正在避免理查德（Richard）的悖论；按照他附加于这一表述的意义，这排除关于能够用有限数目的词来定义的对象的一切考虑。但是，尽管他谨慎地关上了他的羊圈，我不敢担保，他没有放进想要吃羊的狼。只有他证明他免除了矛盾，我才会感到安心；我只是非常清楚地知道，他不能这样做，因为这有必要引用归纳法原理，他对归纳法原理并不怀疑，但他后来提议对此进行证明。他应当忽略了它；这可能以逻辑错误为代价，但是我们至少会确信它。
6. 无限的作用
关于不能够用有限数目的词来定义的对象的推理是可能的吗？甚至表达它们和了解我们正在谈论的东西以及不说无意义的空话是可能的吗？或者，相反地，它们必须被看作是不可思议的吗？至于我，我毫不犹豫地回答，它们只不过是虚无而已。
我们在任何时候遇到的所有对象要么是用有限数目的词来定义的，要么仅仅是不完全地被确定的，依然与许多其他对象不可区分；只有在我们把它们和与它们相混的其他对象区分开来后，我们才能够恰当地进行推理；也就是说，只有当我们成功地用有限数目的词来定义它们时。
如果我们考虑一个集，并且我们希望定义其中的不同元素，那么这个定义能够自然地被分为两部分；该定义的第一部分对该集的所有元素都共同适用，它将引导我们把它们与这个集不相容的元素区别开来；这将是该集的定义；第二部分将引导我们把该集的不同元素彼此区别开来。
这两部分中的每一个将由有限数目的词构成。如果我们表达其定义是已知的一个集的所有元素，那么我们希望表达满足该定义第一部分的所有对象，我们将借助于由我们可以希望的任何有限数目的词组成的语句成功地定义它们。只有该定义的头半部已知，你然后才能够通过选择你喜欢的下半部来完成它；但是，你必须完成它。如果我就集的所有对象陈述了一个命题，那么我意味着，要是一个对象满足该定义的第一部分，那么就这个对象而论，该命题将依然为真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可以希望地那样能够陈述它，那你陈述它就是必要的；否则，该对象就可能是不可思议的，该命题就会没有意义。
对这种观点提出几点反对意见并不是不可能的，实际上已经这样做了。由有限数目的词构成的语句总是能够编上号码，因为例如可以按照字母顺序把它们分类。如果所有可想象的对象必须用这样的语句来定义，那么也可以给它们编号。因此，没有比现有的整数更可信的对象了；如果我们考虑空间，例如，如果我们从其中排除不能够用有限数目的词定义的、绝对虚无的点，那么依然存在的点并不比现有的整数更多些。康托尔证明了对立面。
这仅仅是错觉而已。要通过用来定义空间中的点的语句来描述空间的点，要按照形成这些语句的字母把这些语句和相应的点进行分类，这就是要构造一种不是断言的分类方法，这种分类方法要承担我在本章开头所提到的所有的不便、所有不合逻辑的推论和所有的悖论。康托尔究竟意指什么，他实际上究竟证明了什么？在整数和能用有限数目的词来定义的空间的点中，不可能发现满足下述条件的对应规律：
1.这个规律能够用有限数目的词来陈述。
2.给定任何整数，可以在空间中找到对应的点，这个点将被完全确定，毫无歧义；这个点的定义由两部分组成，即整数的定义和对应规律的陈述，它们能够被归结为有限数目的词，因为这个整数能够用有限数目的词来定义，而对应规律能够用有限数目的词来陈述。
3.给定空间中的点P，我假定用有限数目的词定义该点（我自己没有摒弃使用这个定义与对应规律本身的关联，这在康托尔的证明中是必不可少的），那么将存在一个整数，该整数将毫无歧义地用对应规律的陈述和点P的定义来确定。
4.对应规律必须是断言的，也就是说，如果使点P对应于一个整数，那么当在空间中引入新点时，必须仍然使这个点P对应于同一个整数。那就是康托尔所证明的东西，这依然保持为真。我们注意到包含在这个简短命题中的复杂意义：空间中点的基数比整数的基数大。
于是，我们不得不作出什么结论呢？每一个数学定理必须能够加以验证。当我陈述这个定理时，我宣称，我将试图对它进行的所有验证都会成功；即使这些证明之一需要超过一个人的能力的艰辛工作，我断言，如果许多代人————即使需要一百代人————认为着手进行这种验证是恰当的，它将依然会成功。该定理没有其他意义，如果我们在它的陈述中提到无限的数目，那么这将仍为真。但是，由于验证仅能够适用于有限的数目，所以由此可得，每一个关于无限数的定理，或者特别是所谓的无限集，或超限基数，或超限序数等等，只能是陈述有限数目的命题的简明方式。如果它不是这样，这个定理将不是可验证的，而且如果它是不可验证的，它将是无意义的。
由此可得，不可能存在任何关于无限数的明显的公理；无限数的每一个特性无非是有限数的特性的翻译。正是后者，它可以是明显的，而且也许有必要通过把前者与后者进行比较和通过表明翻译是严格的来证明前者。
7.小结
导致某些逻辑学家的悖论是由这样的事实引起的：他们不能避免某些循环论证。当他们考虑有限的集合时，就发生这种情况，但是当他们对处理无限集合提出要求时，这种情况会更为经常得多地发生。在第一种情况下，他们能够容易地逃出他们落入的陷阱；或者，更严格地讲，他们自己设置了他们选好要落入的陷阱，他们甚至被迫十分小心地不错过这个陷阱；简而言之，在这种情况下，悖论只不过是游戏而已。由无限概念产生出来的悖论是十分不同的；逻辑学家在没有故意设置它的情况下落入其中是经常发生的，即使预先告诫了，他们还是感到不安。
由于不止一个充分的理由，作出解决这些困难的尝试是有趣的，但是这些尝试并不完全令人满意。策默罗先生想构造一个无缺陷的公理系统；可是，这些公理仅仅能够被视为任意的规定，因为有必要证明这些规定不是互相矛盾的，而且进行一次全面大扫除后再没有留下任何作为这样的证明的基础的东西。因此，必须使这些公理是自明的。现在，它们通过什么机制被构造出来？这些被采纳的公理对有限的集合为真；它们不能被推广到所有无限的集合，这种推广只有对它们之中或多或少任意地选择的某个数目才能进行。而且，在我看来，正如我在上面所说的，没有一个关于无限集合的命题能够在直觉上是明显的。
罗素先生比较清楚地认识到要克服的困难的本性。无论如何，他没有完全克服他，因为他的类型谱系假定，序数理论已被阐明。
至于我，我可以提出，我们受下述法则的指导：
1.永远不考虑任何除了能够用有限数目的词定义的对象。
2.永远不忽略这样的事实：每一个关于无限的命题必须是关于有限的命题的翻译和精确陈述。
3.避免非断言的分类和定义。
迄今提到的所有研究工作者都有共同的特征。他们打算把数学教给还不了解在无限和有限之间存在区别的学生；他们没有很快教给学生这一区别由什么组成；他们在开始不涉及这种区分的情况下教给学生关于无限所能了解的一切。再者，在他们使学生漫游的遥远领域，他们向学生指明隐藏有限数的小角落。
对我来说，这似乎是心理上的虚伪；人类的心智自然不会以这种方式进行，尽管我们可以使我们自己摆脱困境而没有过多的自相矛盾的灾难，可是这种方法却不能不与健全的心理学相对立。
罗素先生无疑将告诉我，它并不是心理学问题，而是逻辑和认识论问题；而我将被导致回答，不存在独立于心理学的逻辑和认识论；表明这种信念也许将结束这场讨论，因为它将使不可弥补的观点分歧变得明显起来。
* * *
[1] Menge，德语词汇，相当于set（集）。————中译者注
[2] domain是英语词汇，Bereich是德语词汇。————中译者注
[3] subset是英语词汇，Untermenge是德语词汇。————中译者注
[4] Mengen是Menge的复数。————中译者注
[5] definit的德语词。————中译者注
其次，ω阶整数的定义不同于K阶整数的定义，其中K是有限的。K阶整数是通过递归从K－1阶整数的概念推论出K 阶整数的概念而定义的。ω阶整数通过极限来定义，也就是使这个新概念与无数原先的概念，即与所有有限阶整数的概念相关来定义。因而，对于并不知道有限数是什么的人来说，此时这两个定义可能是无法理解的；他们预先假定有限数和无限数之间的区别。因此，这个区别不能建立在这些定义的基础上。
5. 策默罗先生的论文
正是在完全不同的方向上，策默罗（Zermelo）先生寻求我们已经指出的困难的解决办法。他力求假定一个先验的公理系统，该系统容许他在不面临矛盾的情况下证明所有的数学真理有许多估计公理作用的途径；它们能够被视为任意的规定，这些规定无非是基本概念的伪装的定义。因此希尔伯特先生在几何学的开头引入“物”（things），他把点、直线和平面称为物，不管是忘却还是似乎是片刻忘却这些词的共同意义，他都针对这些物拟定了定义它们的各种关系。
为使这成为合理的，就必须证明，由此引入的公理是不矛盾的，而就几何学而言，希尔伯特先生完全取得了成功，因为他设想分析已经建立起来了，因为他能够在这个证明中利用它。策默罗先生没有证明他的公理是摆脱了矛盾的，而且他不能这样做，因为要这样做，他就应当利用其他已经确立的真理作为基础。但是，谈到已经确立起来的真理和已经完成了的科学————他假定到当时为止还不存在；他排除任何东西，他希望他的公理是完全自身充分的。
因此，公设能够把它们的价值仅仅归于某种类似于任意规定的东西；它们必须是自明的。正因为自明不能被证明，所以要证明这种自明，我们从而必须力图深入到创造这种自明感的心理学机制。而这就是产生困难的地方；策默罗先生承认某些公理，而排斥另一些乍看起来似乎正像他保留的公理一样自明的公理。如果他完全保留它们，他就会陷入矛盾；因此，对他来说，有必要作出选择。但是，我们可能会感到奇怪，他选择的根据是什么，这使得我们必须要谨慎小心。
就这样，他以反对康托尔的定义开始：集（set）是任何与其他不同的、任何被认为是形成一个整体的对象的集合。因此，我没有权利谈论满足这个条件或那个条件的所有对象的集。这些对象没有形成集（set或Menge） [1] ，但是有必要用某种东西代替我们排斥的定义。策默罗先生把他自己限制在这样一个陈述内：让我们考虑任何类型对象的域（domain，Bereich） [2] ；在两个这样的对象x和y之间可以存在x∈y的形式关系，于是我们将说，x是y的元素以及y是集（set）或Menge。
显然，这不是定义。任何一个不知道Menge是什么的人，当他得知用符号∈表示它时，他将不会更好地认识它，因为他不知道∈是什么。如果符号∈后来用被视为任意规定的公理来定义，这样事情就过得去了。但是，我们刚才已看到，这种观点是站不住脚的。因此，我们必须预先了解Menge是什么，我们必须具有它的直觉观念。正是这种直觉，使我们能够理解∈是什么；没有这一点，∈只不过是缺乏意义的、不能宣称有任何自明性质的符号。但是，如果这种直觉不是我们轻蔑地排斥的廉托尔的定义，那么它能够是什么呢？
让我们略过这个困难，我们将在以后试图阐明它，让我们列举一个策默罗先生所设想的公理；它们总共有七个：
1.具有相同元素的两个集（Menge）是等价的。
2.存在着不包含任何元素的集（Menge），这就是空集（Nullmenge）；如果存在对象a，那么便存在Menge（a），这个对象是该Menge的唯一元素；如果存在两个对象a和b，那么便存在Menge （a，b），这两个对象是该Menge的仅有的一些元素。
3.Menge M中的所有满足条件x的元素的集形成M 的子集（subset，Untermenge） [3] 。
4.对于每一个Menge T，相应地存在着由T的所有子集（Untermenge）形成的另一个MengeUT。
5.让我们考虑Menge T，其元素是那些Mengen [4] 本身；存在着MengeST，其元素是T的元素的元素。例如，如果T有三个元素A，B，C，它们本身是Mengen；如果A有两个元素a和a′，B有两个元素b和b′，C有两个元素c和c′，ST 将有六个元素a，b，c，a′，b′，c′。
6.如果存在着一个Menge T，其元素是那些Mengen本身，那么有可能在这些基本Mengen中的每一个中选择的一个元素，而且如此选择的元素的集形成ST的一个Untermenge。
7.至少存在一个无限Menge。
在讨论这些公理之前，我们必须回答一个问题：在叙述它们时，为什么保留德语词汇Menge而不用法语词汇ensemble［集，set］？这正是因为我没有把握，词Menge 在这些公理中保持它的直观意义，没有这种直观意义，就很难排斥康托尔的定义；现在，法语词汇ensemble 使我们太强烈地想起这种直观意义，以至于当意义改变时，我们不能方便地利用它。
我不想过多地强调第七个公理；尽管如此，我必须就它说几句话，以便唤起对策默罗先生用来陈述该公理的十分首创性的方法的注意。他没有使他自己满足于我已经给出的陈述。他说：存在一个Menge M，该集在不包含作为一个元素Menge（a）的情况下也不能包含元素a，即在该Menge 中，元素a是唯一的元素。因此，如果M容纳元素a，那么它将容纳一系列其他元素，也就是说，它将容纳a是唯一元素的Menge，在该Menge中，唯一的元素是仅有一个元素a的Menge，如此等等。可以清楚地看到，这些元素的数目必然是无限的。乍看起来，这个弯路似乎是很奇怪的和人为的，实际确是这样；可是，策默罗先生想避免使用无限一词，因为他认为他的公理先于有限和无限的区分。
让我们考虑前六个公理；它们能够被视为明显的，一旦我们赋予Menge这个词以它的直观意义，并且仅仅考虑有限数目的对象的话。但是，它们不过是作者明确反对的另一个公理：
8.任何种类的对象形成一个Menge。
因此，我们必须问一个问题：无论何时涉及到无限的集合，为什么公理8不再具有自明性而头六个公理依然是自明的呢？
为了解决这个问题，我们要返回到公理的陈述，如果这样的话，我们将经历我们第一次的惊奇。我们将注意到，所有这些公理都毫无例外地告诉我们，只有一种东西，即按照某些规律形成的某些集合才能构成Menge，以至于这些公理对我们来说只不过是作为预定扩大Menge这个词的意义的一些法则，作为该词的一些纯粹的定义。这对于我们反对的第八个公理来说是正确的，正像对于我们接受的头七条公理来说是正确的一样。
可是，我们不久便被警告说，这头一个印象是错误的；词的类似的定义不会把我们引向矛盾；只有在我们具有断言某些集合不是Mengen的其他公理的时候，才不得不形成矛盾；而我们却没有这样的集合。但是，如果我们排斥第八个公理，那就会避免矛盾。策默罗先生就是这样明确地说的。
因此，情况必定是，他没有把他的公理看作是词的简单定义，他赋予Menge这个词以直觉意义，这种意义在他所有陈述之前就存在着，尽管该意义与通常的意义有某种差别。当探讨作者在他的论证中对它的用法时，就不可能不注意到这一点。Menge是我们能够推论的某种东西；它在一定程度是某种固定的、不可改变的东西。为了确定一个集即Menge，确定无论什么集合，总是要进行分类，总是要把属于这个集的对象与不是它的部分的对象分离开来。如果相应的分类不是断言的，那么我们将说，这个集不是一个Menge；如果这种分类是断言的，或者如果它就像它曾经是的那样是可能加以推论的，那么它就是一个Menge。
如果我们排斥第八个公理，正是因为无论任何对象都毫无疑问地形成集合，但却是永远不封闭的集合；其顺序能够在任何时刻通过添加意想不到的元素而被推翻。它是一个非断言的集合，相反地，当我们说，例如对于每一个Menge T，总是相应地存在着另一个用这种或那种方式定义的Menge UT 或ST，我们宣称，这个定义是断言的，或者我们有权像它曾经是的那样去行动。
这里是说在策默罗先生的下述理论中起基本作用的区分的地方了，策默罗理论说：“这样一个问题或陈述E可以称之为确定的，即关于这个域的基本关系的有效性和无效性能够毫无任意性地由公理和普遍有效的逻辑规律区分开来。”“确定的”（definii） [5] 这个词在这里似乎合理地与“断言的”一词同义。但是，策默罗先生对它所作的使用表明，同义并不是完全的。因此让我们设想，例如，这个问题E如下：Menge M的某一元素与同一Menge的所有其他元素具有某种关系吗？我们同意说我们必须回答是的所有元素形成一个类K吗？至于我，我赞同罗素先生的观点，也认为这样一个问题不是断言的；因为M的其他元素是无限的，因为可以不断地引入新的元素，因为在引入的新元素中可能存在其定义包含类K的概念的某些元素，也就是说，包含着具有特性E的元素集的概念。对于策默罗先生来说，在我没有精确认识在确定的问题和不是确定的问题之间存在着严格分界的情况下，这个问题可能是确定的。对他来说，情况似乎是，为了知道一个元素相对于M的所有其他元素是否具有特性E，只要检验它相对于它们中的每一个是否具有特性E就足够了。如果该问题相对于它的每一个元素都是确定的，那么根据这一事实，它相对于所有这些元素也是如此。
正是在这里，在我们的观点中出现了分歧。策默罗先生不容许他自己考虑所有满足某一条件的对象的集，因为在他看来，似乎这个集永远不是封闭的；引入新对象总是可能的。另一方面，在谈到是某一Menge M的一部分而且也满足某一条件的对象的集时，他毫不踌躇。对他来说，情况似乎是，人们在不具有集的所有元素的同时是不可能具有Menge的。在这些元素中，他将选择满足给定条件的元素，他将能够十分沉着地作出这一选择，而不担心被新的、未曾料到的元素的引入所扰乱，因为他手头已经拥有所有这些元素。由于预先假定了这个Menge M，他筑起了一道围墙，不让来自外部的入侵者闯入。但是，他没有询问，是否存在着他把其圈进他的围墙内的内部入侵者呢？如果Menge M具有无限数目的元素，那么这并不意味着这些元素能够被想象为预先同时存在着，而是意味着新元素有可能不断地产生；它们将在墙内产生而不是在墙外产生；这就是一切。当我说所有的整数时，我意味着所有已经被发明出来的整数和所有将有一天能够被发明出来的整数。当我说空间中的所有点时，我意味着所有其坐标能够用有理数、或用代数数、或用积分、或用任何其他能够被发明出来的方法描述的点。正是这个“能够”，就是无限。但是，有可能发明出将能够用许多方法来定义的一些东西，如果我们把我们不久前所做的归诸我们的问题E和我们的类K，那么每当M的新元素被定义，问题E会再次产生；因为在我们能够定义的元素中，将存在着一些其定义依赖这个类K的元素。以至于没有可能避免循环论证。
这就是策默罗先生的公理为什么不可能使我感到满意的原因。在我看来，它们不仅不是明显的，而且当有人问我它们是否摆脱了矛盾时，我将不知道回答什么。作者认为，他通过摒弃任何超越于闭Menge的限制的思辨，正在避免最大基数的悖论。他认为他仅仅通过询问那些是确定的问题，正在避免理查德（Richard）的悖论；按照他附加于这一表述的意义，这排除关于能够用有限数目的词来定义的对象的一切考虑。但是，尽管他谨慎地关上了他的羊圈，我不敢担保，他没有放进想要吃羊的狼。只有他证明他免除了矛盾，我才会感到安心；我只是非常清楚地知道，他不能这样做，因为这有必要引用归纳法原理，他对归纳法原理并不怀疑，但他后来提议对此进行证明。他应当忽略了它；这可能以逻辑错误为代价，但是我们至少会确信它。
6. 无限的作用
关于不能够用有限数目的词来定义的对象的推理是可能的吗？甚至表达它们和了解我们正在谈论的东西以及不说无意义的空话是可能的吗？或者，相反地，它们必须被看作是不可思议的吗？至于我，我毫不犹豫地回答，它们只不过是虚无而已。
我们在任何时候遇到的所有对象要么是用有限数目的词来定义的，要么仅仅是不完全地被确定的，依然与许多其他对象不可区分；只有在我们把它们和与它们相混的其他对象区分开来后，我们才能够恰当地进行推理；也就是说，只有当我们成功地用有限数目的词来定义它们时。
如果我们考虑一个集，并且我们希望定义其中的不同元素，那么这个定义能够自然地被分为两部分；该定义的第一部分对该集的所有元素都共同适用，它将引导我们把它们与这个集不相容的元素区别开来；这将是该集的定义；第二部分将引导我们把该集的不同元素彼此区别开来。
这两部分中的每一个将由有限数目的词构成。如果我们表达其定义是已知的一个集的所有元素，那么我们希望表达满足该定义第一部分的所有对象，我们将借助于由我们可以希望的任何有限数目的词组成的语句成功地定义它们。只有该定义的头半部已知，你然后才能够通过选择你喜欢的下半部来完成它；但是，你必须完成它。如果我就集的所有对象陈述了一个命题，那么我意味着，要是一个对象满足该定义的第一部分，那么就这个对象而论，该命题将依然为真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可以希望地那样能够陈述它，那你陈述它就是必要的；否则，该对象就可能是不可思议的，该命题就会没有意义。
对这种观点提出几点反对意见并不是不可能的，实际上已经这样做了。由有限数目的词构成的语句总是能够编上号码，因为例如可以按照字母顺序把它们分类。如果所有可想象的对象必须用这样的语句来定义，那么也可以给它们编号。因此，没有比现有的整数更可信的对象了；如果我们考虑空间，例如，如果我们从其中排除不能够用有限数目的词定义的、绝对虚无的点，那么依然存在的点并不比现有的整数更多些。康托尔证明了对立面。
这仅仅是错觉而已。要通过用来定义空间中的点的语句来描述空间的点，要按照形成这些语句的字母把这些语句和相应的点进行分类，这就是要构造一种不是断言的分类方法，这种分类方法要承担我在本章开头所提到的所有的不便、所有不合逻辑的推论和所有的悖论。康托尔究竟意指什么，他实际上究竟证明了什么？在整数和能用有限数目的词来定义的空间的点中，不可能发现满足下述条件的对应规律：
1.这个规律能够用有限数目的词来陈述。
2.给定任何整数，可以在空间中找到对应的点，这个点将被完全确定，毫无歧义；这个点的定义由两部分组成，即整数的定义和对应规律的陈述，它们能够被归结为有限数目的词，因为这个整数能够用有限数目的词来定义，而对应规律能够用有限数目的词来陈述。
3.给定空间中的点P，我假定用有限数目的词定义该点（我自己没有摒弃使用这个定义与对应规律本身的关联，这在康托尔的证明中是必不可少的），那么将存在一个整数，该整数将毫无歧义地用对应规律的陈述和点P的定义来确定。
4.对应规律必须是断言的，也就是说，如果使点P对应于一个整数，那么当在空间中引入新点时，必须仍然使这个点P对应于同一个整数。那就是康托尔所证明的东西，这依然保持为真。我们注意到包含在这个简短命题中的复杂意义：空间中点的基数比整数的基数大。
于是，我们不得不作出什么结论呢？每一个数学定理必须能够加以验证。当我陈述这个定理时，我宣称，我将试图对它进行的所有验证都会成功；即使这些证明之一需要超过一个人的能力的艰辛工作，我断言，如果许多代人————即使需要一百代人————认为着手进行这种验证是恰当的，它将依然会成功。该定理没有其他意义，如果我们在它的陈述中提到无限的数目，那么这将仍为真。但是，由于验证仅能够适用于有限的数目，所以由此可得，每一个关于无限数的定理，或者特别是所谓的无限集，或超限基数，或超限序数等等，只能是陈述有限数目的命题的简明方式。如果它不是这样，这个定理将不是可验证的，而且如果它是不可验证的，它将是无意义的。
由此可得，不可能存在任何关于无限数的明显的公理；无限数的每一个特性无非是有限数的特性的翻译。正是后者，它可以是明显的，而且也许有必要通过把前者与后者进行比较和通过表明翻译是严格的来证明前者。
7.小结
导致某些逻辑学家的悖论是由这样的事实引起的：他们不能避免某些循环论证。当他们考虑有限的集合时，就发生这种情况，但是当他们对处理无限集合提出要求时，这种情况会更为经常得多地发生。在第一种情况下，他们能够容易地逃出他们落入的陷阱；或者，更严格地讲，他们自己设置了他们选好要落入的陷阱，他们甚至被迫十分小心地不错过这个陷阱；简而言之，在这种情况下，悖论只不过是游戏而已。由无限概念产生出来的悖论是十分不同的；逻辑学家在没有故意设置它的情况下落入其中是经常发生的，即使预先告诫了，他们还是感到不安。
由于不止一个充分的理由，作出解决这些困难的尝试是有趣的，但是这些尝试并不完全令人满意。策默罗先生想构造一个无缺陷的公理系统；可是，这些公理仅仅能够被视为任意的规定，因为有必要证明这些规定不是互相矛盾的，而且进行一次全面大扫除后再没有留下任何作为这样的证明的基础的东西。因此，必须使这些公理是自明的。现在，它们通过什么机制被构造出来？这些被采纳的公理对有限的集合为真；它们不能被推广到所有无限的集合，这种推广只有对它们之中或多或少任意地选择的某个数目才能进行。而且，在我看来，正如我在上面所说的，没有一个关于无限集合的命题能够在直觉上是明显的。
罗素先生比较清楚地认识到要克服的困难的本性。无论如何，他没有完全克服他，因为他的类型谱系假定，序数理论已被阐明。
至于我，我可以提出，我们受下述法则的指导：
1.永远不考虑任何除了能够用有限数目的词定义的对象。
2.永远不忽略这样的事实：每一个关于无限的命题必须是关于有限的命题的翻译和精确陈述。
3.避免非断言的分类和定义。
迄今提到的所有研究工作者都有共同的特征。他们打算把数学教给还不了解在无限和有限之间存在区别的学生；他们没有很快教给学生这一区别由什么组成；他们在开始不涉及这种区分的情况下教给学生关于无限所能了解的一切。再者，在他们使学生漫游的遥远领域，他们向学生指明隐藏有限数的小角落。
对我来说，这似乎是心理上的虚伪；人类的心智自然不会以这种方式进行，尽管我们可以使我们自己摆脱困境而没有过多的自相矛盾的灾难，可是这种方法却不能不与健全的心理学相对立。
罗素先生无疑将告诉我，它并不是心理学问题，而是逻辑和认识论问题；而我将被导致回答，不存在独立于心理学的逻辑和认识论；表明这种信念也许将结束这场讨论，因为它将使不可弥补的观点分歧变得明显起来。
* * *
[1] Menge，德语词汇，相当于set（集）。————中译者注
[2] domain是英语词汇，Bereich是德语词汇。————中译者注
[3] subset是英语词汇，Untermenge是德语词汇。————中译者注
[4] Mengen是Menge的复数。————中译者注
[5] definit的德语词。————中译者注
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