第五章 数学和逻辑

    几年前，我有机会提出了某些关于无限的逻辑的观念，谈论了无限在数学中的作用和自康托尔以来由它所构成的应用。我解释过，我为什么不认为某些推理方法是合理的，而许多著名的数学家却相信它们可以使用。 [1] 不用说，我招来了一些尖锐的答辩。这些数学家不相信他们错了；他们坚信他们有权作他们曾经做过的事情。讨论拖了下去，这并不是因为不断地提出了新的论据，而是因为我们继续在同一个圈子里团团转，每个人都重复着他刚刚说过的话，似乎没有听到对手已经说过什么。在每一个场合，我都要就所争论的原理提出新的证据，可以说是为了不致遭到大家反对；但是，这种证据总是相同的，几乎未加修改。因此没有得出结论。假如我说我感到意外的话，那是传达了假象，其实我的心理是亮堂的。

    在这些条件下，再次重复同样的论据似乎是不可取的，我可以给这些论据以新的形式，但却基本上不会改变它们，因为在我看来好像是我的对手甚至没有试图去拒绝它们。寻求造成这种截然不同的观点的智力差别的起源似乎是可取的。我刚刚说过，这些不能缩小的分歧并不使我感到惊讶，我从一开始就已经预见到分歧。但是，这并未免除我们寻求解释；在反复经验之后，预见事实是可能的，还被紧紧催逼着要去解释它。

    因此，让我们尝试从纯粹客观的观点来研究一下两个对立学派的心理学，就好像我们自己不是这两个学派的成员，就好像我们正在讲述两窝蚂蚁打仗一样。首先，我们将看到，数学家在他们考虑无限的方式方面存在着两种对立的倾向。在一些数学家看来，无限是由有限导出的；无限之所以存在，是因为有无限多可能的有限事物。对另一些数学家来说，无限在有限之前就存在着；有限是从无限切下一小段而得到的。

    一个定理必须能够证明，但是由于我们自己是有限的，我们只能够处理有限的对象。这样一来，即使无限的概念在定理的陈述中起作用，但是在证明中必须不涉及它；否则，这种证明将是不可能的。我将引用下面的定理作为一个例子：素数集无界；级数∑1/n2 是收敛的等等。这些例子中的每一个都能够化为只包含有限数的等式和不等式。这些定理带有无限的特征，并不是因为一种可能的证明本身带有无限的特征，而是因为可能的证明在数目上是无限的。

    在陈述定理时，我断言它的所有证明将为真。这被理解为，并非所有的证明全部给出了。还有一些我认为是可能的证明，因为它们大概只需要有限长的时间，但是它们实际上是不可能的，由于它们可能需要多年的工作。我相信，要是我们能够设想一些富有而愚蠢的人（他们足以雇用充分多的帮手）企图完成它，那就好了。但是，作为定理证明的真正目的，它又使这种蠢事变得没有必要。

    不能得出任何可验证结论的定理有意义吗？或者，更普遍地讲，任何定理除了与它有关的证明外还有意义吗？这正是数学家有分歧的地方。第一个学派的那些数学家说没有，我将称他们为实用主义者（因为有必要给他们取一个名字）；当一个定理在没有给他们以验证它的方法的情况下而引起他们的注意时，他们在其中看到的只是不可理解的冗词赘句。他们愿意考虑的只是能够用有限数目的词定义的对象。在一个论据中，当提到作为满足某些条件的对象A时，他们理解满足这些条件的对象，不管用来完成它的定义的词汇可能是什么，尽管这些词在数目上是有限的。

    另一个学派的数学家不想承认这一点，我将把他们简称为康托尔主义者。一个人不管他多么健谈，他在他的一生中也不能说十亿以上的词汇。因此，我们将从科学中排除其定义包含十亿零一个词的对象吗？如果我们不排除它们，我们为什么要排除那些只能够用无限数目的词定义的对象呢，这是由于第一类定义的表述像第二类定义的表述一样超越了人类的范围吗？

    不难理解，这个论据使实用主义者大为扫兴；不管一个人多么健谈，人类还将更为健谈，因为我们不知道人类将延续多么长的时间，我们不能预先限制人类的研究范围。我们仅仅知道，这个范围将总是有限的；即使我们也许能够确定人类消亡的日期，但是还有其他天体上的智慧生物，能够继续从事在地球上留下的未完成的工作。而且，实用主义者在设想比我们更健谈，而且还保留着某些人性的人类时，他们也许并不疑虑不安；他们不愿就关于在有限长的时间内能够思考无限多词汇的一些无限健谈的神灵的假说进行争论。另一方面，其他人认为，客体与能够谈论或思考它们的任何人类或任何神灵无关地大量存在着；我们能够在这种贮存中自由地选择；我们无疑没有足够的欲望或充裕的金钱来购买每一样东西；但是库存货物却与买主的资财毫不相干。在细节上的所有各种分歧就起因于这种最初的误解。

    让我们以策默罗定理为例，按照该定理，空间能够变换为良序集。康托尔主义者将被证明的严格、真实或明显所迷住。实用主义者将回答：

    “你说你能把空间变换为良序集。好吧，变换它！”

    “那需要花费很长时间。”

    “那么，你至少要向我们证明，某个有足够的时间和耐性的人能完成这种变换。”

    “不，我不能证明，因为实行变换的操作数目是无限的；它甚至比阿列夫零（A1eph-zero）还要多。”

    “你能够指出容许空间是良序的定律如何用有限数目的词来描述吗？”

    “不能。”

    于是实用主义者得出结论：该定理或者没有意义，或者为假，或者至少未被证明。

    实用主义者采用外延的观点，康托尔主义者采用内涵的观点。当涉及到一个有限的集合时，这种区分只有对形式逻辑理论家来说才是有意义的；但是，当涉及到无限的集合时，这种区分对我们来说似乎具有更深远的意义。如果我们采用外延的观点，那么集合可以通过新数的相继添加而形成；我们能够把旧对象结合起来构造新对象，然后用这些新对象构造更新的对象；如果集合是无限的，正是因为不存在停下来的理由。

    另一方面，从内涵的观点来看，我们从其中具有预先存在的对象的集合开始，这些对象乍看起来似乎是没有区别的，但是我们最终能分辨出它们中的几个，因为我们标记了它们，并且把它们排列在抽屉里。但是，对象在标记前就存在着，集合也会存在，即使也许没有把它们进行分类的管理员。

    对于康托尔主义者来说，基数的概念没有包含任何秘密。当两个集合能够排列在相同的抽屉时，它们就具有相同的基数；事情不会更容易了，由于两个集合预先存在着，同样可以认为与负有排列对象任务的管理员无关的抽屉内的集合预先存在着。对于实用主义者来说，情况并非如此。集合没有预先存在；它每天都增长着；新对象不断地变得与它有关，如果不涉及预先已经分类的对象概念和它们分类的方式，人们也就不能定义这个集合。每逢一个新的获得物时，管理员都可能被迫打乱抽屉，以便找到一种按适当顺序配置它的方法；两个集合是否能够排列在相同的抽屉内，这将永远不会为人所知，因为总是要担心，打乱它们将是必要的。

    例如，实用主义只承认能够用有限数目的词定义的对象；能够用语句描述的可能的定义总是能够用从一到无限的寻常数来计数。根据这种推断，也许只存在可能的单重无限基数，即阿列夫零数。可是，我们为什么说连续统的幂不是整数幂呢？是的，给出我们能够用有限数目的词定义的空间中所有点后，我们就能够想象一个定律，该定律本身能够用有限数目的词来描述，而且能在这些词和整数集之间建立起对应。但是，现在让我们考虑其中包含着这个对应定律概念的语句。不久前，这些语句没有意义，因为这个定律还没有被发明出来，它们不能用来定义空间的点。现在，它们已获得了意义；它们将容许我们定义空间的新点。但是，这些新点将在已经采纳的分类中找不到任何位置，这将迫使我们打乱它。在实用主义看来，当我们说连续统的幂不是整数幂时，我们的意思就是这样。我们意味着，在这两个集之间不可能建立摆脱这类混乱的对应定律；而在涉及直线和平面的例子中，就有可能做到这一点。

    其次，实用主义者没有肯定，是否无论什么集恰当他讲都具有基数；或者，给定两个集，是否总有可能知道，它们是否具有相同的幂，或者一个幂是否比另一个幂大。从而他们被导致怀疑阿列夫（Aleph-one）的存在。

    分歧的另一个来源起因于构想定义的方式。存在着各类定义；存在着通过近缘的类和不同的种，或者通过合成能够导出的直接定义。

    让我们附带注意一下，在不能定义特殊的事物，而只能定义整个种的意义上，存在着不完全的定义。它们是合理的，它们甚至是最为频繁使用的定义。但是在实用主义者看来，有必要在其中理解特殊对象的集，这些对象满足该定义，并且最终能够用有限数目的词来定义。因为康托尔主义者的这种限制是人为的，而且没有意义。

    如果仅存在直接定义，那么纯粹逻辑的重要性就不可能引起争议。于是，无论在什么命题中，都可能用它的定义代替每一个术语。当完成这种代替时，要么该命题不能简化为等同，从而不能是纯粹逻辑证明，要么它能简化为等同，从而只不过是或多或少精巧伪装起来的同义反复。

    但是，还有另外一类定义，即用公设来定义。一般地，我们总是知道，被定义的对象属于一个类；但是，当陈述特定的差别成问题时，那就不直接陈述，而借助于被定义的对象必须满足的“公设”来陈述。就这样，数学家能够借助于显方程x=f（y）或隐方程F（x，y）＝0来定义量x。

    只有当所定义的对象的存在被证明时，用公设定义才有价值。用数学语言来说，这意味着该公设没有隐含矛盾；我们没有权利忽略这个条件。要么必须承认，由于一种信念的作用，无矛盾是直观真理、是公理————可是这样就必须认清我们正在做的事情，铭记我们已经扩大了不可证明的公理的一览表————要不然就必须借助于法则或公设或利用递归推理来构造形式证明。尽管当涉及直接定义时这种证明并非不大必要，但是它一般来说却比较容易。

    一些实用主义者可能更为严谨；为了使他们认为定义是合理的... -->>
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