第五章 数学和逻辑

合理的，在术语上不导致矛盾是不充分的；按照我在上面试图定义的他们的特殊观点，他们要求定义要有意义。

    不管事情可能怎样，在通过公设引入定义后，逻辑将依然是无结果的吗？在给定一个命题后，我们不再能够在其中用定义代替一个术语。我们能够做的一切就是在命题和作为它的定义的公设之间消除这个术语。如果这种操作是按照所谓的逻辑消去法则进行的，那么它就不会导致等同，因为该命题不能借助于纯粹逻辑来证明。如果它导致等同，那正是因为该命题只不过是同义反复而已。我们不需要在我们不久前所作的结论中改变任何东西。

    但是，还有第三类定义，这是实用主义者和康托尔主义者之间新误解的起源。这些定义也是通过公设来定义，但是公设在这里是被定义的对象和一个类的所有个别对象之间的关系，被定义的对象本身被假定是这个类中的一个元（或者人们假定它们本身只能够用要被定义的对象来定义的那些对象是这个类的元）。如果我们假定下述两个公设，所发生的情况就是这样。

    X（被定义的对象）以这样的方式与类G的所有元有关。

    X是G的元。

    要不然，假定下述三个公设：

    X以这样的方式与类G的所有元有关。

    γ以这样的方式与X有关。

    γ是G的元。

    在实用主义者看来，这个定义隐含着循环论证。在不知道类G所有元的情况下，从而在不知道这些元之一X的情况下，就不可能定义X。康托尔主义者不承认这一点：类G被给定，从而我们知道它的所有元。作为目的，该定义仅仅必须从这些元中区分出一个元，它与它的所有同伙元具有所描述的关系。

    “不”，他们的反对者回答说：“类的知识不会导致你认识它的所有元；它只不过向你提供了构造所有元的可能性，或者更确切地讲，提供了构造你所希望的那么多的元的可能性。它们将只有在它们被构造之后才存在；也就是说，在它们被定义之后才存在；X只有借助于它的定义才存在，只有G的所有元，尤其是X预先已知，它才具有意义。”他们附加道：“说下面的这些话可能是无用的；例如说什么用它对于X的关系来定义X并不是循环论证；说什么总之这个关系是能够被用来定义X的公设；因为必须预先确定，这个公设不隐含矛盾。但是，那不是通常在这种类型的定义中所要做的事情。我们首先证明，无论类G可以是什么，假定所有它的元都已知，它也许由于这个类而具有所述的关系；也就是说，这个对象的存在并不导致矛盾。在这里，可能留下来的是要证明，在这个对象的存在和假说之间没有矛盾，这个对象本身是该类的元。”

    争论可能会继续一个很长的时间；但是，我乐于强调的观点是，如果容许这类定义，那么逻辑就不再是无结果的了，而且证明就是用预定证明命题的方式来系统表述大量论据，这些命题绝不是同义反复，因为有些人仍拿不准它们是否错了。因此，我们为一个词所能具有的能力而惊奇。在这里，有这样一个对象，在它被命名之前，从它之中连什么东西也不能推导出来；它所需要的一切就是取个名字，这名字创造了奇迹。这如何能够发生呢？因为给它取个名字，我们就已隐含地断言，该对象确实存在着（也就是说，摆脱了所有矛盾），它完全被确定了。但是，在实用主义者看来，我们根本不知道这一点。事实上，使这个证明变得毫无结果的机制是什么呢？那是很简单的；我们假定，被证明的命题为假，我们证明这导致与对象X存在的事实相矛盾。只要我们肯定它的存在，而且只要我们知道该对象完全被确定了，这就是合理的。实际上，要是X是通过定义从类G推出就行了；其次，要是类G是通过包括对象X和能够从类G中推导出的所有其他元在内而变得完全就行了；如果这样而变得完全的类称为G′，如果我们把能够通过定义、并且用与X从G推导出来的同一方式而从G′推导出的元称为X′，那么就必须确信X′等同于X。如果情况并非如此，如果通过假定被证明的命题为假，我们便被引导到两个矛盾的陈述

    φ1（X）=0， φ2（X）=0

    那么，我们怎样才会知道，在两个陈述中所涉及的是同一个X呢？如果X包含在一个陈述中，而X′包含在另一个陈述中，那么两个命题就可写成

    φ1（X）=0， φ2（X′）=0

    一般说来，它们不再是矛盾的。

    为什么实用主义者因此会提出这种异议呢？因为对于他们来说，类G似乎只是能够无限增加的集合，无论何时新的元都能形成，它们具有适当的特征。于是，G从来也不能像康托尔主义者所作的那样不可改变地被安排，从而我们无法肯定，借助于新的附加物它将不变为G′。

    我力求尽可能清楚、尽可能公正地解释两个学派数学家的分歧的本质。对我来说，这似乎是我们已经能够领悟出的真正的原因。两个学派的科学家具有对立的思想倾向。我称之为实用主义的那些人是观众论者，而康托尔主义者是实在论者。

    存在着一种能够证实这种观点的东西。我们看到，正如我所说的，康托尔主义者（让我使用这个方便的术语吧，尽管我在这里不希望谈论步康托尔后尘的数学家，甚至也许不想谈论那些认为他们与康托尔一致的哲学家，而只想谈谈在独立的形式方面具有同一倾向的人）不断地谈到认识论，即科学的科学。这种认识论完全与心理学无关，这一点已被充分地理解；也就是说，它必须告诉我们，假使没有科学家的话，究竟科学是什么；我们必须研究科学，这当然没有假定不存在科学家，但至少是没有假定存在科学家。于是，不仅自然是独立于试图研究它的物理学家的实在，而且物理学本身也是一种实在，即使没有物理学家，它也存在着。事实上，这就是实在论。

    实用主义者为什么不肯容许不能用有限数目的词来定义的对象呢？这是因为他们认为，对象只有在它能用心智构想时才存在，对象不能用独立于有能力思考的人的心智来构想。实际上，在这里存在着观念论。既然有理性的主体是人，或者是类似于人的某种生物，因而是有限的存在，所以无限除了有创造我们所希望的那么多的有限对象的可能性外，它没有别的意义。

    这样，我们可以作出某种特殊的评论。实在论者通常采取物理学家的观点。他们断言物质对象、或个体灵魂、或他们所谓的实物的独立存在。在他们看来，世界在人创生之前就存在着，甚至在生物创生之前就存在着；即便没有上帝，或没有任何理性生物，世界还会存在。这是常识的观点，只有通过沉思我们才能抛弃它。物理实在论的支持者一般说来都是有限论者。至于谈到康德的二律背反问题，他们对该论题亦步亦趋；他们相信世界是有限的。例如，这是伊夫琳（Evellin）先生的观点。另一方面，观念论者并没有同样的顾忌，他们已充分准备好赞同对立的观点。

    可是，康托尔主义者是实在论者，甚至在涉及到数学实体的地方也是如此。在他们看来，这些实体似乎具有独立的存在；几何学家并没有创造它们，他只是发现它们。因此，这些对象可以说在没有现存的情况下就存在着，因为它们能够归结为纯粹的本质。但是，由于这些对象就其本性而言在数目上是无限的，因此数学实在论的支持者与观念论者相比，他们是更大程度的无限论者。在他们看来，无限由于在发现它的心智之前就存在着，因而它不再是生成（becoming）。不管他们承认还是否认无限，他们必须因此而相信实无限。

    我们在这里辨认出柏拉图（Plato）的理念论；看到把柏拉图归入实在论者之中可能似乎是奇怪的。不过，没有任何学说比柏拉图主义更强烈地与当代观念论相对抗了，尽管这种学说也远离物理实在论。

    我从未见到有比埃尔米特（Hermite）更为实在论的数学家（在柏拉图的意义上的实在论），我还必须承认，我从来也没有遇见一个比他更反对康托尔主义的人。在这里，似乎存在着表面上的矛盾，之所以更加如此，是由于他乐意重复说：“我之所以是一个反康托尔主义者，因为我是实在论者。”他因创造对象而不是满足于发现它们而责备康托尔。毋庸置疑，由于他的宗教信念，他认为，希望毫无困难地深入到只有上帝才能够理解的领域，而不等待上帝向我们一个接一个地揭示它的秘密，这是大逆不敬的行为。他把数学科学和自然科学加以比较。在他看来，博物学家企图猜测上帝的秘密，而不通过经验来了解，这对神圣的上帝不仅是放肆的，而且是无礼的。在他看来，康托尔主义者似乎想要以同样的方式在数学中行动。这就是为什么他在实践上是观念论者，而在理论上是实在论者。存在着一个已知的实在，它在我们的外部，不依赖于我们；但是，我们关于它所能知道的一切都依赖于我们，于是这一切只不过是生成，是一种相继获得的层次。其余的东西是实在的，却是永远不可知的。

    无论如何，埃尔米特的情况是一个孤立的例子，我不希望进一步停留在它上面。不论何时，在哲学中总是存在着对立的倾向，这些倾向似乎并没有处于和解的边缘。毫无疑问，这是因为存在着不同的心灵，我们不能改变这些心灵中的任何东西。因此，没有希望看到在实用主义者和康托尔主义者之间建立起和谐。人们没有取得一致，因为他们讲的不是同一种语言，有的只是彼此都不能学会的语言。

    然而，在数学中，人们通常可以彼此了解；但是，这恰恰是由于我已经称之为证明的东西。这些证明在没有上诉的情况下就宣布判决。在它们面前，整个世界都得屈从。但是，不管在什么地方，如果缺乏这些证明，数学家就一点也不比头脑简单的哲学家高明。当必须了解一个定理在无法证明的情况下能否具有意义时，由于根据定义我们不允许我们自己去证明它，谁能够判断它能否有意义呢？除了因矛盾而使对手走投无路外，不会有其他办法。但是，人们已经尝试做了实验，却未获成功。

    许多二律背反都被指出来了，不一致依然存在；没有一个人被说服。总有可能通过改变论据使自己摆脱矛盾；我指的是通过区别。

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    [1] 参见第四章。————原注