卷五

以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有奇零与否如无奇零则实中所命之单位相对即法尾之数若有奇零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后奇零有一位则截得数之二位奇零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后奇零有一位则截得数之三奇零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左

    开平方法

    平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位

    法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同

    开带纵平方法

    较法

    法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也

    又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也

    较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和

    和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较

    总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也

    和法

    法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也

    又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长

    开立方法

    立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同

    开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同

    田地顷畆分法

    纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺

    正比例

    以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类

    庄氏算学卷五