第四章 空间和几何学

们把“形变”与其他状态变化区别开来；在这些形变中，每一部分仅仅经受了能够加以矫正的位置变化，但是它们的集合所经受的改变却更为深刻，而且不易受相关动作的矫正。

    这样的概念已经十分复杂，它必然在比较晚的时候才能出现；而且，如果固体的观察未曾告诉我们区别位置变化，这个概念也不能产生。

    所以，假使在自然界没有固体，那么便不会有几何学。

    另一种议论也值得注意一下。设一固体相继占据位置α和β；它在第一个位置，使我们感受到印象总和A，在第二个位置，使我们感受到印象总和B。现在，设有第二个固体，它具有与第一个固体完全不同的性质，例如颜色不同。设它从位置α移到位置β，它在α时使我们感受到印象总和A'，在β时使我们感受到印象总和B'。

    一般说来，总和A与总和A'毫无共同之处，总和B与总和B'亦然。因此，从总和A到总和B，以及从总和A'到总和B'的转变，一般而言是本身毫无共同之处的两种变化。

    可是，我们认为这两种变化是位移，而且我们认为它们是相同的位移。情况怎么能够是这样呢？

    这仅仅是因为，它们二者能够受到我们身体同一相关动作的矫正。

    所以，“相关动作”构成了两个现象之间的唯一关联，否则，我们永远也不会梦想把它们联系起来。

    另一方面，我们身体由于有许多关节和肌肉，因而可以做出各种不同的动作；但是，所有动作都不能“矫正”外部客体的变动；只有我们的整个身体，或者至少我们起作用的感官作为一个整体移动时，即它们的相对位置不变或以固体那样移动时，这样的动作才能矫正外部客体的变动。

    让我们概括一下：

    1°首先我们可以区分两种现象范畴：

    一些是不受主观意志控制的、不伴随肌肉感觉的，我们把它们归诸于外部客体；这些是外部变化；

    另一些在性质上恰恰相反，我们把它们归诸于我们自己身体的动作，这些是内部变化。

    2°我们注意到，这些范畴每一个的某些变化可以受到另一范畴相关变化的矫正。

    3°在外部变化中，我们区分出与另一范畴相关的变化；我们称这些变化为位移；同样，在内部变化中，我们区分出与第一个范畴相关的变化。

    由于这种相关性，我们称之为位移的现象的特殊类别就被这样定义了。

    这些现象的规律构成几何学的对象。

    均匀性定律。在这些规律中，第一个就是均匀性定律。

    设由于外部变化α，我们从印象总和A到印象总和B，接着这一变化α受到相关的、由主观意志控制的动作β的矫正，于是我们恢复到总和A。

    现在，设另一个外部变化α'使我们重新从总和A到总和B。

    经验告诉我们，这个变化α'像α一样，也易受相关的、由主观意志控制的动作β'的矫正，这个动作β'与矫正α的动作β相应于同样的肌肉感觉。

    这个事实通常被说成是：空间是均匀的和各向同性的。

    也可以说，一个动作一旦产生之后，它可以第二次、第三次地重复，如此等等，而它的特性却保持不变。

    在第一章，我们讨论了数学推理的本性，我们看到必须赋予无限地重复同一操作的可能性以重要意义。

    数学推理正是从这种重复中获得它的威力的；因此，正是由于均匀性定律，它才把支撑点放在几何学事实上。

    为完备起见，除均匀性定律外，还应当添加许多其他类似的定律，我不愿讨论其中的细节，但是数学家用一句话把它们概括为下述说法：位移形成“一个群”。

    非欧几里得世界。如果几何学空间是强加在我们每一个单独考虑的表象上的框架，那么就不可能拆除这个框架来想象映像，而且我们也丝毫不能改变我们的几何学。

    然而，情况并非如此；几何学只不过是这些映像前后相继的规律的概要。于是，没有什么东西妨碍我们想象一系列表象，这些表象在各方面与我们通常的表象类似，但前后相继的规律不同于我们习惯的规律。

    其次，我们能够设想在这些定律遭到倾覆的环境中接受教育的生物，它们必定具有与我们截然不同的几何学。

    例如，假定有一个用大球面包围起来的世界，它服从下述定律：

    温度不是均匀的；在中心温度最高，随着距中心距离的增大，温度成比例地减小，当接近包围这个世界的球面时，温度降至绝对零度。

    让我再把这个温度变化的规律更精确地说明一下：设R是有限球面的半径；设r是所考虑的点到这个球面中心的距离。绝对温度将与R2-r2成比例。

    我将进而假定，在这个世界上，一切物体都具有同一膨胀系数，从而任何量尺的长度都与它的绝对温度成比例。

    最后，我将假定，一物体从一点转移到温度不同的另一点后，它能立即与新环境处于热平衡。

    在这些假设中，丝毫没有什么是矛盾的或不可想象的。

    于是，一个可动客体越接近有限球面，它会成比例地愈变愈小。

    首先要注意，从我们通常的几何学的观点来看，尽管这个世界是有限的，但是对于这个世界的居民来说，它似乎是无限的。

    事实上，当这些居民试图接近有限球面时，它们逐渐变冷，而且变得愈来愈小。因此，它们迈出的步子也愈来愈小，结果它们永远也不能到达有限球面。

    对于我们来说，如果几何学只是研究刚体运动的规律的话，那么对这些假想的生物而言，几何学将研究我刚刚说过的因温度差而变形的固体的运动规律。

    毫无疑问，在我们的世界上，由于或热或冷，天然固体同样经受形状和体积的变化。但是，在奠定几何学的基础时，我们忽略了这些变化，因为除了这些变化微乎其微外，它们也不规则，从而在我们看来似乎是偶然的。

    在我们假设的世界上，情况不再是这样，这些变化遵循规则的、十分简单的定律。

    而且，组成这个世界的居民的身体之各固体部分会经受同样的形状变化和体积变化。

    我还要作另外的假设；我将假定，光通过各种折射媒质传播，而且折射率与R2-r2成反比。很容易看到，在这些条件下，光线不可能是直线的，而是圆形的。

    为了证明前面所说的是正当的，在我看来依然是要表明，外部客体位置的某些变化能够被居住在这个想象世界上的有知觉生物的相关动作矫正，用这种方式来恢复这些有知觉生物体验过的原始印象的集合。

    事实上，假定一客体被移动，同样经受了形变，它不像刚体，而像与上面假定的温度定律严格一致的固体那样经受了不相等的膨胀。为简洁起见，请容许我把这样的运动叫做非欧几里得位移。

    假如一个有知觉的生物恰恰在附近，它的印象将被该客体的位移所改变，但是它能够通过以合适的方式运动而重建这些印象。只要最后该对象和被视为单一个体的有知觉的生物之集合经受了一种特殊位移就足够了，我刚才把这种位移叫做非欧几里得位移。倘若假定这些生物的四肢与它们居住的世界的其他物体按照同一规律膨胀，那么这就是可能的。

    从我们通常的几何学的观点来看，尽管物体在这种位移中发生了形变，而且它们的各部分不再处于同一相对位置，不过我们将看到，有知觉的生物的印象再次变成相同的了。

    事实上，虽然各部分的相互距离可以改变，但是原来接触的部分又处于接触。因此，触觉印象没有变化。

    另一方面，考虑到上面关于光线的折射和曲率所作的假设，则视觉印象也依然相同。

    因此，这些假想的生物像我们一样，可以把它们目睹的现象进行分类，也可以在这些现象中区分出易于通过相关的、由主观意志支配的动作而矫正“位置变化”。

    假使它们构造几何学，将不会像我们那样研究刚体的运动；它们的几何学将研究它们将如此区分的位置变化，这种变化无非是“非欧几里得位移”；它们的几何学将是非欧几何学。

    这样一来，像我们自己一样的生物，由于在这样一个世界受教育，它们不会有与我们相同的几何学。

    四维世界。正如我们能够想象非欧几里得世界一样，我们也能够想象四维世界。

    视觉————即使用一只眼睛————和与眼球运动有关的肌肉感觉一起，便足以告诉我们三维空间。

    外部客体的映像描绘在作为二维画布的视网膜上；它们是透视图。

    但是，因为眼睛和客体是可动的，所以我们依次看到从不同的视点得到的同一物体的各种透视图。

    同时，我们发现，从一个透视图到另一个透视图的转换常常伴随着肌肉感觉。

    如果从透视图A到透视图B的转换以及从透视图A'到透视图B'的转换，伴随着同样的肌肉感觉，我们把它们相互比拟为同一性质的操作。

    其次，研究一下这些操作结合在一起的规律，我们认识到，它们形成一个群，这个群的结构与刚体运动的结构相同。

    现在，我们看到，正是从这个群的特性，我们引出了几何学空间的概念和三维的概念。

    这样一来，我们明白了三维空间的观念如何能够从这些透视图的展演中产生出来，尽管它们中的每一个仅仅是两维的，这是由于它们按照某些规律相互跟随。

    好了，正如三维图形的透视图能够做在平面上一样，我们也能够把四维图形的透视图做在三维（或二维）的图画上。对于几何学家来说，这只不过是儿戏而已。

    我们甚至能够从许多不同的视点对同一图形做出许多透视图。

    我们能够想象这些透视图，由于它们只有三维。

    试设想一下同一客体的各个透视图依次相继出现，从一个到另一个的转换伴随着肌肉感觉。

    当这些转换中的两个与相同的肌肉感觉联系时，我们当然要把二者看做是两个相同性质的操作。

    其次，没有什么东西妨碍我们设想，这些操作按照我们选择的任何定律结合，例如为了形成一个与四维刚体运动具有同一结构的群。

    在这里，没有什么是不可图示的，但是，这些感觉恰恰是那些具有二维视网膜又能在四维空间里运动的生物所感受到的感觉。在这种意义上，我们可以说，第四维是可以想象的。

    按这样的方式，不可能表示我们在前一章讲过的希尔伯特空间，因为这个空间已不是二维连续统。所以，它与我们平常的空间大相径庭。

    结论。我们看到，在几何学的起源中，经验起着必不可少的作用；但是，如果由此得出几何学是————即使部分的是————实验科学的结论，那可就错了。

    假如几何学是实验科学，那它只能是近似的和暂定的。多么粗糙的近似啊！

    几何学只可能是研究固体的运动；但是实际上，它并不是用来从事天然固体的研究，它把某些绝对刚性的理想固体作为对象，这些理想固体只不过是天然固体的一种简化的和相差很远的图像。

    这些理想固体的概念来自我们心智的所有构成要素，经验只不过是导致我们从这些构成要素中产生这一概念的诱因。

    几何学的对象是研究特殊的“群”；不过，一般的群概念在我们的心智预先存在着，至少是潜在地存在着。它不是作为我们感性（sense）的形式，而是作为我们知性（understanding）的形式强加给我们。

    在所有可能的群中，必须选择出的可以说只是标准的群，我们将把自然现象提交给它。

    在这一选择中，经验指导我们，而没有把它强加给我们；经验没有告诉我们哪一个是最真实的几何学，而是告诉我们哪一个是最方便的几何学。

    要注意，我没有放弃使用通常几何学的语言，也能描述上面设想的奇异的世界。

    事实上，即使我们迁移到那个世界，我们也不必改变语言。

    在那里受教育的生物无疑会发现，创造一种不同于我们的、更好地适应它们印象的几何学是比较方便的。至于我们，面对同一印象，可以肯定地说，我们会发现不改变我们的习惯是比较方便的。